¿Cómo es entender las matemáticas? ¿Cómo eres tan bueno en eso?

Answer 1

• Puede responder rápidamente a muchas preguntas aparentemente difíciles. Pero no estás muy impresionado por lo que puede parecer magia, porque conoces el truco. El truco es que su cerebro puede decidir rápidamente si una de las pocas “máquinas” poderosas de propósito general responde (por ejemplo, argumentos de continuidad, las correspondencias entre objetos geométricos y algebraicos, álgebra lineal, formas de reducir lo infinito a lo finito). a través de varias formas de compacidad) combinadas con hechos específicos que ha aprendido sobre su área. El número de ideas y técnicas fundamentales que las personas usan para resolver problemas es, quizás sorprendentemente, bastante pequeño: consulte http://www.tricki.org/tricki/map para obtener una lista parcial, mantenida por Timothy Gowers.
• A menudo confía en que algo es cierto mucho antes de tener una prueba hermética (esto sucede especialmente a menudo en geometría). La razón principal es que tiene un gran catálogo de conexiones entre conceptos, y puede intuir rápidamente que si X fuera falso, eso crearía tensiones con otras cosas que sabe que son ciertas, por lo que está inclinado a creer que X probablemente sea cierto para mantener la armonía del espacio conceptual. No es tanto que puedas imaginar la situación perfectamente, pero puedes imaginar rápidamente muchas otras cosas que están lógicamente conectadas a ella.
• Se siente cómodo sintiendo que no tiene una comprensión profunda del problema que está estudiando. De hecho, cuando tiene una comprensión profunda, ha resuelto el problema y es hora de hacer otra cosa. Esto hace que el tiempo total que pasa en la vida se deleite en su dominio de algo bastante breve. Una de las principales habilidades de los científicos de investigación de cualquier tipo es saber cómo trabajar de manera cómoda y productiva en un estado de confusión. Más sobre esto en las próximas balas.
• Su pensamiento intuitivo sobre un problema es productivo y está estructurado de manera útil, perdiendo poco tiempo en ser desconcertado sin rumbo. Por ejemplo, al responder una pregunta sobre un espacio de alta dimensión (por ejemplo, si un cierto tipo de rotación de un objeto de cinco dimensiones tiene un “punto fijo” que no se mueve durante la rotación), no pasa mucho tiempo esforzándose para visualizar aquellas cosas que no tienen análogos obvios en dos y tres dimensiones. (Violar este principio es una gran fuente de frustración para los estudiantes principiantes de matemáticas que no saben que no deberían esforzarse por visualizar cosas para las que no parecen tener la maquinaria de visualización). En cambio …
• Cuando intentas entender algo nuevo, te enfocas automáticamente en ejemplos muy simples que son fáciles de pensar, y luego aprovechas la intuición sobre los ejemplos para obtener ideas más impresionantes. Por ejemplo, puede imaginar rotaciones bidimensionales y tridimensionales que sean análogas a la que realmente le interesa, y pensar si tienen o no la propiedad deseada. Luego piensas en lo que era importante para los ejemplos e intentas convertir esas ideas en símbolos. A menudo, ve que la idea clave en las manipulaciones simbólicas no depende de nada acerca de dos o tres dimensiones, y sabe cómo responder a su pregunta difícil.

  A medida que avanza matemáticamente, los ejemplos que considera fáciles son en realidad ideas complejas creadas a partir de muchos ejemplos más fáciles; el “caso simple” en el que piensa ahora le tomó dos años para sentirse cómodo. Pero en cualquier etapa, no te esfuerzas por obtener una iluminación mágica sobre algo intratable; trabajas para reducirlo a las cosas que se sienten amigables.

• Para mí, el error más grande que tienen los no matemáticos sobre cómo funcionan los matemáticos es que hay una facultad mental misteriosa que se utiliza para resolver un problema de investigación de una vez . Es cierto que a veces puede resolver un problema mediante la coincidencia de patrones, donde ve la herramienta estándar que funcionará; La primera viñeta anterior trata sobre ese fenómeno. Esto es agradable, pero no fundamentalmente más impresionante que otras confluencias de memoria e intuición que ocurren en la vida normal, como cuando recuerdas un truco para colgar un cuadro o notas que una vez viste una pintura de la calle, ahora estás mirando a.

  En cualquier caso, para cuando un problema se convierta en un problema de investigación, es casi seguro que la simple coincidencia de patrones no lo terminará. Entonces, en el trabajo profesional de uno, el proceso es poco sistemático: cree que hay algunos pasos adelante, probando posibles ataques de su arsenal en ejemplos simples relacionados con el problema, tratando de establecer resultados parciales o buscando hacer analogías con otras ideas que entiende. Esta es la misma forma en que resuelve problemas difíciles en sus primeros cursos de matemáticas reales en la universidad y en competencias. Lo que sucede a medida que avanzas es simplemente que el arsenal se hace más grande, el pensamiento se vuelve un poco más rápido debido a la práctica y tienes más ejemplos para probar. A veces, durante este proceso, surge una idea repentina, pero no sería posible sin la laboriosa labor de base [http://terrytao.wordpress.com/ca…].

  De hecho, la mayoría de las viñetas aquí resumen sentimientos familiares para muchos estudiantes serios de matemáticas que están en el medio de sus carreras de pregrado; A medida que aprende más matemáticas, estas experiencias se aplican a cosas “más grandes” pero tienen el mismo sabor fundamental.

• Subes en abstracción, “más y más alto”. El principal objeto de estudio de ayer se convierte en un ejemplo o una pequeña parte de lo que está considerando hoy. Por ejemplo, en las clases de cálculo piensas en funciones o curvas. En el análisis funcional o la geometría algebraica, piensa en espacios cuyos puntos son funciones o curvas, es decir, “aleja” para que cada función sea solo un punto en un espacio, rodeado de muchas otras funciones “cercanas”. Usando este tipo de técnica de alejamiento, puede decir cosas muy complejas en oraciones cortas, cosas que, si se desempaquetan y se dicen en el nivel de ampliación, ocuparían páginas. Resumir y comprimir de esta manera hace posible considerar problemas extremadamente complicados con la memoria y el poder de procesamiento limitados.
• Las partes particularmente “abstractas” o “técnicas” de muchas otras materias parecen bastante accesibles porque se reducen a las matemáticas que ya conoce. En general, te sientes seguro de tu capacidad para aprender la mayoría de las ideas y técnicas cuantitativas. A un amigo físico teórico le gusta decir, solo en parte en broma, que debería haber libros titulados “______ para matemáticos”, donde _____ es algo que generalmente se considera difícil (química cuántica, relatividad general, fijación de precios de valores, epistemología formal). Esos libros serían cortos y concisos, porque muchos conceptos clave en esas materias son aquellos que los matemáticos están bien equipados para comprender. A menudo, esas partes pueden explicarse de manera más breve y elegante de lo que suelen ser si la explicación puede suponer un conocimiento de las matemáticas y una facilidad con la abstracción.

  Aprender los elementos específicos del dominio de un campo diferente aún puede ser difícil; por ejemplo, la intuición física y la intuición económica parecen depender de trucos del cerebro que no se aprenden solo a través del entrenamiento matemático. Pero las técnicas cuantitativas y lógicas que perfeccionas como matemático te permiten tomar muchos atajos que facilitan el aprendizaje de otros campos, siempre que estés dispuesto a ser humilde y modificar esos hábitos matemáticos que no son útiles en el nuevo campo.
• Te mueves fácilmente entre múltiples formas aparentemente muy diferentes de representar un problema . Por ejemplo, la mayoría de los problemas y conceptos tienen más representaciones algebraicas (más cercanas en espíritu a un algoritmo) y más geométricas (más cercanas en espíritu a una imagen). Usted va y viene entre ellos de forma natural, utilizando el que sea más útil en este momento.

  De hecho, algunas de las ideas más poderosas en matemáticas (p. Ej., Dualidad, teoría de Galois, geometría algebraica) proporcionan “diccionarios” para moverse entre “mundos” de manera que, ex ante , son muy sorprendentes. Por ejemplo, la teoría de Galois nos permite utilizar nuestra comprensión de simetrías de formas (p. Ej., Movimientos rígidos de un octágono) para comprender por qué puede resolver cualquier ecuación polinómica de cuarto grado en forma cerrada, pero no cualquier ecuación polinómica de quinto grado. Una vez que conoces estos hilos entre diferentes partes del universo, puedes usarlos como agujeros de gusano para salir de un lugar donde de otra manera estarías atrapado. Las siguientes dos balas se expanden sobre esto.

• Malcriado por el poder de sus mejores herramientas, tiende a evitar cálculos desordenados o argumentos largos, caso por caso, a menos que sean absolutamente inevitables. Los matemáticos desarrollan un poderoso apego a la elegancia y la profundidad, que están en tensión con, si no directamente opuestos, al cálculo mecánico. Los matemáticos a menudo pasan días descubriendo por qué un resultado se sigue fácilmente de un patrón muy profundo y general que ya se entiende bien, en lugar de una serie de cálculos. De hecho, tiendes a elegir problemas motivados por la probabilidad de que haya una visión “limpia” en ellos, en lugar de una prueba detallada pero en última instancia poco esclarecedora al enumerar exhaustivamente un montón de posibilidades. (Sin embargo, el cálculo detallado de un ejemplo a menudo es una parte crucial para comenzar a ver qué está sucediendo realmente en un problema; y, según el campo, algunos cálculos a menudo juegan un papel esencial incluso en la mejor prueba de un resultado).

  En A Mathematician’s Apology [http://www.math.ualberta.ca/~mss…, el libro más poético que sé sobre cómo es “ser matemático], GH Hardy escribió:

  “En ambos teoremas [de estos ejemplos] (y en los teoremas, por supuesto, incluyo las pruebas) hay un grado muy alto de inesperado, combinado con inevitabilidad y economía. Los argumentos toman una forma extraña y sorprendente; las armas utilizadas parece tan infantilmente simple en comparación con los resultados de largo alcance; pero no hay escapatoria a las conclusiones. No hay complicaciones de detalle: una línea de ataque es suficiente en cada caso; y esto es cierto también de las pruebas de muchos teoremas más difíciles, cuya plena apreciación exige un alto grado de competencia técnica. No queremos muchas “variaciones” en la prueba de un teorema matemático: “enumeración de casos”, de hecho, es una de las formas más aburridas de matemática argumento. Una prueba matemática debe parecerse a una constelación simple y clara, no a un cúmulo disperso en la Vía Láctea “.

  […]

  “[Una solución a un problema de ajedrez difícil] es una matemática bastante genuina, y tiene sus méritos; pero es solo esa ‘prueba por enumeración de casos’ (y de casos que, en el fondo, no difieren en absoluto) que un el verdadero matemático tiende a despreciar “.

• Desarrolla una fuerte preferencia estética por ideas poderosas y generales que conectan cientos de preguntas difíciles, en oposición a la resolución de acertijos particulares. Los matemáticos realmente no se preocupan por “la respuesta” a ninguna pregunta en particular; Incluso los teoremas más buscados, como el último teorema de Fermat, son solo tentadores porque su dificultad nos dice que tenemos que desarrollar herramientas muy buenas y comprender cosas muy nuevas para probarlas. Es lo que obtenemos en el proceso, y no la respuesta per se , eso es lo valioso. El logro que busca un matemático es encontrar un nuevo diccionario o agujero de gusano entre diferentes partes del universo conceptual. Como resultado, muchos matemáticos no se enfocan en derivar las implicaciones prácticas o computacionales de sus estudios (¡lo cual puede ser un inconveniente del enfoque hiper-abstracto!); en cambio, simplemente quieren encontrar las conexiones más poderosas y generales. Timothy Gowers tiene algunos comentarios interesantes sobre este tema y desacuerdos dentro de la comunidad matemática al respecto [http://www.dpmms.cam.ac.uk/~wtg1…].
• Comprender algo abstracto o probar que algo es verdadero se convierte en una tarea muy parecida a construir algo. Piensas: “Primero estableceré esta base, luego construiré este marco utilizando estas piezas familiares, pero dejaré las paredes para rellenar más tarde, luego probaré las vigas …” Todos estos pasos tienen análogos matemáticos y estructuran cosas en Una forma modular le permite pasar varios días pensando en algo que no comprende sin sentirse perdido o frustrado. (Debo decir, “sin sentirse insoportablemente perdido y frustrado”; una cierta cantidad de estos sentimientos es inevitable, pero la clave es reducirlos a un grado tolerable).

  Andrew Wiles, quien demostró el último teorema de Fermat, utilizó una metáfora “exploradora”:
  “Quizás pueda describir mejor mi experiencia de hacer matemáticas en términos de un viaje a través de una mansión oscura e inexplorada. Entras en la primera habitación de la mansión y está completamente oscura. Tropiezas tropezando con los muebles, pero poco a poco aprendes dónde está cada pieza de muebles es. Finalmente, después de aproximadamente seis meses, encuentras el interruptor de la luz, lo enciendes y de repente todo está iluminado. Puedes ver exactamente dónde estabas. Luego te mueves a la siguiente habitación y pasas otros seis meses en la oscuridad. Así que cada uno de estos avances, aunque a veces son momentáneos, a veces durante un período de uno o dos días, son la culminación de, y no podrían existir sin, los muchos meses de tropezar en la oscuridad que proceden ellos.” [http://www.pbs.org/wgbh/nova/phy…]

• Al escuchar un seminario o al leer un documento, no se atasca tanto como solía hacerlo en la juventud porque es bueno modularizando un espacio conceptual, tomando ciertos cálculos o argumentos que no entiende como “cajas negras” y considerando sus implicaciones de todos modos. A veces puedes hacer declaraciones que sabes que son verdaderas y con una buena intuición, sin comprender todos los detalles. A menudo puede detectar dónde se basa la parte delicada o interesante de algo en una explicación de muy alto nivel. (La primera vez que vi estos fenómenos fue resaltada por Ravi Vakil, quien ofrece consejos perspicaces sobre ser un estudiante de matemáticas: http://math.stanford.edu/~vakil/….)
• Eres bueno para generar tus propias definiciones y tus propias preguntas al pensar en algún nuevo tipo de abstracción.
  Una de las cosas que uno aprende bastante tarde en una educación matemática típica (a menudo solo en la etapa de comenzar a investigar) es cómo hacer definiciones buenas y útiles. Algo que he escuchado de manera confiable de personas que conocen bien las partes de las matemáticas pero que nunca llegaron a ser matemáticos profesionales (es decir, escriben artículos sobre las nuevas matemáticas para ganarse la vida) es que fueron buenos para probar proposiciones difíciles que se expresaron en un ejercicio de libro de texto. , pero se perdería si se le presentara una estructura matemática y se le pidiera encontrar y probar algunos datos interesantes al respecto. Concretamente, la capacidad de hacerlo equivale a ser bueno para hacer definiciones y, usando los conceptos recientemente definidos, formular resultados precisos que otros matemáticos encuentran interesantes o esclarecedores.

  Este tipo de desafío es como recibir un mundo y pedirle que encuentre eventos en él que se unan para formar una buena historia de detectives. Tienes que descubrir quiénes deben ser los personajes (los conceptos y objetos que definas) y cuál puede ser el misterio interesante. Para hacer estas cosas, utiliza analogías con otras historias de detectives (teorías matemáticas) que conoce y un gusto por lo que es sorprendente o profundo. El funcionamiento de este proceso es quizás el aspecto más difícil del trabajo matemático para describir con precisión, pero también creo que es lo más fuerte que los matemáticos tienen en común.

• Te molesta fácilmente la imprecisión al hablar de lo cuantitativo o lógico. Esto se debe principalmente a que está capacitado para pensar rápidamente en contraejemplos que hacen que una afirmación imprecisa parezca obviamente falsa.
• Por otro lado, te sientes muy cómodo con la imprecisión intencional o “agitar las manos” en áreas que conoces, porque sabes cómo completar los detalles. Terence Tao es muy elocuente sobre esto aquí [http://terrytao.wordpress.com/ca…]:

  “[Después de aprender a pensar rigurosamente, llega la] etapa ‘post-rigurosa’, en la que uno se ha sentido cómodo con todos los fundamentos rigurosos del campo elegido y ahora está listo para revisar y refinar la intuición pre-rigurosa sobre el tema , pero esta vez con la intuición sólidamente apuntalada por una teoría rigurosa (por ejemplo, en esta etapa uno podría realizar cálculos de forma rápida y precisa en el cálculo vectorial mediante el uso de analogías con cálculo escalar, o el uso informal y semi-riguroso de infinitesimales, notación big-O, y así sucesivamente, y poder convertir todos estos cálculos en un argumento riguroso cuando sea necesario.) El énfasis ahora está en las aplicaciones, la intuición y el ‘panorama general’. Esta etapa generalmente ocupa los últimos años de posgrado y más allá.”

  En particular, una idea que tardó horas en comprender correctamente la primera vez (“para cualquier épsilon arbitrariamente pequeño puedo encontrar un pequeño delta para que esta afirmación sea verdadera”) se convierte en un elemento tan básico de su pensamiento posterior que no da Pensamiento consciente.

• Antes de concluir, vale la pena mencionar que los matemáticos no son inmunes a las limitaciones que enfrentan la mayoría de los demás. No suelen ser superhéroes intelectuales. Por ejemplo, a menudo se vuelven resistentes a las nuevas ideas y se sienten incómodos con las formas de pensar (incluso sobre las matemáticas) que no son propias. Pueden estar a la defensiva sobre el territorio intelectual, despreciar a los demás o mezquino en sus disputas. Arriba, he tratado de resumir cómo se siente y funciona mejor la forma matemática de pensar, sin centrarme en los defectos de personalidad de los matemáticos o en la política de varios campos matemáticos. ¡Estas cuestiones son dignas de sus propias respuestas largas!
• Eres humilde con respecto a tu conocimiento porque eres consciente de cuán débiles son las matemáticas y te sientes cómodo con el hecho de que no puedes decir nada inteligente sobre la mayoría de los problemas . Hay muy pocas preguntas matemáticas a las que tenemos respuestas razonablemente perspicaces. Hay incluso menos preguntas, obviamente, a las que cualquier matemático puede dar una buena respuesta. Después de dos o tres años de un plan de estudios universitario estándar, un buen estudiante de matemáticas puede escribir sin esfuerzo cientos de preguntas matemáticas a las que los mejores matemáticos no podrían aventurarse ni siquiera una respuesta tentativa. (El informático teórico Richard Lipton enumera algunos ejemplos de ignorancia potencialmente “profunda” aquí: http://rjlipton.wordpress.com/20…) Esto hace que sea más cómodo sentirse perplejo ante la mayoría de los problemas; Una sensación de que sabes aproximadamente qué preguntas son manejables y cuáles están actualmente más allá de nuestras habilidades es humillante, pero también te libera de ser muy intimidado, porque sabes que estás familiarizado con el aparato más poderoso que tenemos para lidiar con este tipo de problemas.

Answer 2

Comencemos por eso, incluso para el mejor matemático hay desafíos al límite de sus habilidades. Si la aritmética es su techo o el programa Langlands, hay un muro para todos. Voy a hablar acerca de tener alguna facilidad con las matemáticas que generalmente surge en una profesión cuantitativa, como la ingeniería o la astronomía.

Es muy parecido a ser un manitas (handywoman).

Considere a su personal de mantenimiento más hábil, el que tiene la línea completa de herramientas Craftsman y siempre parece ser capaz de solucionar incluso problemas de reparación de viviendas desafiantes. Mediante una combinación de herramientas en su caja de herramientas, experiencia pasada y acceso para encontrar conocimiento en libros de referencia o videos de Youtube, generalmente pasan por el siguiente proceso:

• Comience adivinando lo que está sucediendo. ¿Cuál es el problema y el objetivo?
• Evaluar si este problema específico sería un ajuste natural para su experiencia y herramientas. ¿Tengo la experiencia y las herramientas para resolver esto?
• Investiga un poco. ¿Hay un video de Youtube que me muestre cómo hacer esto?
• Diseña una estrategia. ¿Está esto dentro de mi nivel de habilidad o debería contactar a un profesional? ¿Necesito comprar una nueva herramienta?
• Ejecute la estrategia y adáptese.

Hacer matemáticas es sorprendentemente análogo a una reparación práctica. Hay herramientas en su caja de herramientas como destornilladores, taladros y martillos que pueden abordar muchos problemas. Existen grandes fuentes de información para comprender los problemas comunes (Wikipedia es excepcionalmente buena). Y sí, hay algunos pulgares doloridos y egos magullados en el camino.

Si desea mejorar en matemáticas (o más práctico en casa), le aconsejaría que analice dónde es difícil el proceso para usted:

• Cuando te enfrentas a un problema de matemáticas, ¿puedes indicar claramente el problema y la meta en tus propias palabras?
• ¿Este problema y este objetivo se ajustan a su experiencia y herramientas? Si no es así, ¿sabe dónde hacer crecer su experiencia o encontrar la herramienta adecuada?
• ¿Cuáles son los materiales de referencia cuando te quedas atascado? ¿Cuál es tu ir al libro / sitio?
• Desarrollar experiencia. Mucha ansiedad matemática se reduce al miedo y la inexperiencia. ¿Cómo puede colocarse en suficientes situaciones de bajo riesgo para reducir su miedo?

Answer 3

Como alguien que ha disfrutado de las matemáticas desde que era un bebé, puede ser maravilloso y problemático comprender las matemáticas. Entiende el mundo de una manera que nadie que no entienda las matemáticas como usted lo hace, y puede ser muy alienante, especialmente cuando se encuentra en una clase de personas que odian / están frustradas por las matemáticas.

Y no se preocupe, más de 2 millones de estudiantes (creo que solo en los EE. UU., Idk, soy australiano) tienen ansiedad matemática, que es exactamente lo que parece. No es raro que alguien no entienda las matemáticas, especialmente a un nivel alto. No es nada de lo que avergonzarse: todos tienen cosas que hacen y no entienden / tienen una predisposición natural. Yo, por ejemplo, puedo entender fácilmente la mayoría de las cosas en cualquier materia de la escuela secundaria que pones delante de mí, pero nunca esperes que pueda consolar a alguien después de una pérdida o lidiar con las emociones humanas.

La genética puede influir en su capacidad de ser más influenciado matemáticamente, pero no lo controla. Si bien mis dos padres son razonablemente inteligentes, ninguno de los dos ha tenido la habilidad académica / matemática que yo tengo. Lo atribuyo únicamente a ser educado para saber contar desde una edad temprana y tener maestros que hacen que las matemáticas sean agradables.

Entonces, ¿hay un secreto? Diría que probablemente, pero con algunas excepciones. ¿Existe un secreto para aprender y comprender las matemáticas? Si intenta aplicar, eventualmente (puede que no sea el estilo de aprendizaje ni el cuarto) cada concepto que intente será claro. ¿Existe un secreto para tener una predisposición natural hacia él? Si. Creo que tener talento natural para algo está casi siempre determinado por los padres, directa o indirectamente. Por ejemplo: si ambos padres tienen una inclinación artística, lo más probable es que usted también lo esté, o si incluso uno de sus padres es muy activo, es probable que lo críen para que sea activo.

Pero nunca, nunca, que sea una excusa. Puedes superar lo que tus padres te enseñaron; Solo toma un momento interesarse en algo.

Answer 4

Depende de muchas cosas.

Primero, no todos pueden ser tan buenos en matemáticas como alguien más. El cerebro de cada persona es diferente.

En segundo lugar, debe comenzar con lo básico, pero realmente debe comprenderlo muy bien antes de continuar.

Tercero, intente una forma diferente de aprender el material. Puede escuchar una conferencia, ver cómo se resuelve un problema, etc.

Finalmente, si todavía te sale algo mal, deja que alguien te muestre cómo obtener la respuesta correcta.

Answer 5

Es un idioma Para aprender un idioma que no sea el que se habla en tu hogar mientras creces, probablemente deberías hacer algunos ejercicios académicos y trabajar duro para conocer un poco de vocabulario y gramática básicos, luego vivir un par de años y sumergirte las 24 horas del día, los 7 días de la semana en eso. idioma donde se habla. Entonces todavía tendrás acento pero serás funcional.

Si pasas una pequeña fracción de ese tiempo inmerso en matemáticas, desarrollarás cierta habilidad y comodidad con él. Entonces puede haber nuevas áreas de matemáticas, nuevas herramientas, pero menos personas las necesitan (los físicos las necesitan mucho), y si quieres aprenderlas, no es un gran paso.

Answer 6

Al principio, antes de entender cómo funciona, siempre parece difícil. El problema con la mayoría de las personas es que, en lugar de pensar en cómo funciona y tratar de entenderlo, se convencen de que es imposible. No te rindas todavía. ¿No sabes cómo funciona algo? Si te esfuerzas lo suficiente, eventualmente lo entenderás. Ser bueno o malo en matemáticas no define si puedes o no entenderlo. Solo influirá en cuánto tiempo llevará. Cuando la gente no puede entenderlo, normalmente es porque se dieron por vencidos.