Las raíces de [matemáticas] 3x ^ 4 + 9x ^ 2 [/ matemáticas] son ​​[matemáticas] x = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] x = \ pm [/ matemáticas] [matemáticas] \ sqrt3i [/ matemáticas]. ¿Cómo sigue eso el teorema fundamental del álgebra?

Answer 1

Esta es una muy buena pregunta!

El gráfico en 2 D parece ser el siguiente:

Y esto solo cruza el eje x una vez en x = 0

¡Pero esta no es toda la historia!

Hay muchos valores complejos de x que todavía producen valores REAL y.

Si incluimos un eje x imaginario en ángulo recto con el eje x real, terminamos con un COMPLEJO x PLANO y un EJE REAL y sobresaliendo en el medio.

El álgebra involucrado es muy difícil, pero el gráfico es realmente el siguiente:

Las curvas PÚRPURAS son lo que yo llamo Gráficos Fantasma.

Ahora si decimos “¿Dónde esta gráfica tiene valores cero y?”, Vemos que la gráfica pasa por el punto (0, 0) dos veces! La curva ROJA básica pasa por (0, 0) y el fantasma púrpura debajo también pasa por (0, 0).

Además, los otros dos fantasmas tienen valores cero y y cruzan el plano x

en (3i, 0) y (-3i, 0)

Esto significa que esta gráfica cuártica cruza el plano x 4 veces como el teorema fundamental de los estados de álgebra.

He trabajado mucho en este tema durante los últimos 10 años o más.

Mire mi sitio web principal http://www.phantomgraphs.weebly.com

y si miras otro de mis sitios, encontrarás un extenso artículo sobre este mismo problema relacionado con el teorema fundamental del álgebra.

Vaya a http://knowingisnotunderstanding.weebly.com

y desplácese hasta el elemento 29

29. Problemas con el “Teorema fundamental del álgebra”.
Hacer clic AQUÍ

Answer 2

Estás olvidando que The Theorem también cuenta multiplicidades de raíces. Sí, esas son las únicas tres raíces, pero [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas] tiene multiplicidad [matemáticas] 2 [/ matemáticas] ya que resuelve el factor [matemáticas] x ^ 2 = 0. [/ Matemáticas]

Contando multiplicidades, tienes las cuatro raíces garantizadas por The Theorem.

Answer 3

3x² (x² + 9) = 0

x = 0 (dos ceros repetidos)

x² = -9 = 3i²

x = ± i√3 【2 conjugar ceros complejos】

Answer 4

Bueno, no resolvería esto con el Teorema fundamental del álgebra porque podrías factorizar [matemáticas] 3 {x} ^ {2} [/ matemáticas] a partir de [matemáticas] 3 {x} ^ {4} + 9 {x } ^ {2} [/ math] para obtener la ecuación [math] 3 {x} ^ {2} \ times \ left ({x} ^ {2} + 3 \ right) = 0 [/ math].

Por lo tanto, sus raíces serán [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] x = \ pm i \ sqrt {3} [/ matemáticas].

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Bien, ahora volviendo a tu pregunta.

Esta ecuación en realidad sigue el teorema fundamental del álgebra; Cuando tomas la raíz cuadrada de algo, siempre habrá dos soluciones. Por ejemplo, [math] \ sqrt {9} = \ pm 3 [/ math].

Pero en nuestro problema, tenemos [matemáticas] {x} ^ {2} = 0 [/ matemáticas] para algunas de nuestras soluciones al problema original. Vamos a resolverlo como lo haríamos normalmente:

[matemáticas] \ displaystyle {x} ^ {2} = 0 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Tomando la raíz cuadrada de ambos lados, obtenemos

[matemáticas] \ displaystyle x = \ pm \ sqrt {0} \ qquad \ qquad \ qquad x = \ pm 0 \ tag * {} [/ math]

Ahora, podría simplificar esto aún más y decir que [math] x = 0 [/ math]. Pero lo que hay que tener en cuenta es que cuando tomas la raíz cuadrada de un número, hay dos soluciones. Cuando hiciste [matemática] {x} ^ {2} = 0 [/ matemática], obtuviste dos soluciones, [matemática] x = +0 [/ matemática] y [matemática] x = -0 [/ matemática]. Pero eso es redundante, y [math] 0 [/ math] no es ni positivo ni negativo, por lo que simplificamos las soluciones a solo [math] 0 [/ math].

Entonces el teorema fundamental del álgebra te dio cuatro soluciones; [matemáticas] x = \ pm 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] x = \ pm i \ sqrt {3} [/ matemáticas]. Es solo que lo primero se puede simplificar a una solución, cuando originalmente había dos, lo que significa que sí, ¡había cuatro soluciones! Sigue el Teorema fundamental del álgebra, pero no parece ser así.

Espero que esto ayude.