¿Cómo demuestro eso si [matemáticas] f (x) = x ^ {6} + ax ^ {5} + bx ^ {4} + cx ^ {3} + bx ^ {2} + ax + 1 [/ math] y [math] \ mu [/ math] es una raíz repetida de [math] f (x) = 0 [/ math], luego [math] \ dfrac {1} {\ mu} [/ math] también es una raíz repetida de [matemáticas] f (x) = 0 [/ matemáticas]?

Answer 1

Su polinomio es un ejemplo de un polinomio palindrómico.

Se dice que un polinomio [matemático] p (x) = a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + \ cdots + a_nx ^ n [/ matemático] es palindrómico si [matemático] a_k = a_ {nk} [/ matemático] para [matemático ] k \ in \ {0,1,2, \ ldots, n \} [/ math].

Tenga en cuenta que [matemáticas] p (1 / x) = a_0 + a_1x ^ {- 1} + a_2x ^ {- 2} + \ cdots + a_nx ^ {- n} [/ matemáticas], de modo que [matemáticas] x ^ n \, p (1 / x) = a_0x ^ n + a_1x ^ {n-1} + a_2x ^ {n-2} + \ cdots + a_n [/ math]. Si [math] p (x) [/ math] es palindrómico, entonces

[matemáticas] x ^ n \, p (1 / x) = p (x). \ tag {1} [/ matemáticas]

Ahora suponga que [math] \ mu \ ne 0 [/ math] es una raíz del polinomio palindrómico [math] p (x) [/ math] con multiplicidad [math] s [/ math]. Esto implica que

[matemáticas] p (x) = (x- \ mu) ^ s \, q (x) \ textrm {donde} q (x) \ ne 0. \ tag {2} [/ matemáticas]

Como [math] \ mu \ ne 0 [/ math], [math] \ frac {1} {\ mu} [/ math] existe. Por [matemáticas] (2) [/ matemáticas], [matemáticas] p (1 / x) = (x ^ {- 1} – \ mu) ^ s \, q (1 / x) = x ^ {- s} (1- \ mu x) ^ s \, q (1 / x) [/ math]. Así [matemáticas] x ^ n \, p (1 / x) = x ^ {ns} (1- \ mu x) ^ s \, q (1 / x) [/ matemáticas], entonces por [matemáticas] (1 )[/matemáticas],

[matemáticas] p (x) = x ^ {ns} (1- \ mu x) ^ s \, q (1 / x). \ tag {3} [/ matemáticas]

De [math] (3) [/ math], está claro que [math] 1 / \ mu [/ math] también es una raíz de [math] p (x) [/ math] con multiplicidad al menos [math] s [/ matemáticas]. Que [math] 1 / \ mu [/ math] tiene una multiplicidad exactamente igual a [math] s [/ math] se infiere por el hecho de que [math] p (x) [/ math] es el producto de tres polinomios (como escrito en [matemáticas] (3) [/ matemáticas]), y [matemáticas] 1 / \ mu [/ matemáticas] no es una raíz de [matemáticas] x ^ {ns} [/ matemáticas] ni de [matemáticas] q ( 1 / x) [/ matemáticas].

De este modo, hemos demostrado que, en un polinomio palindrómico [matemática] p (x) [/ matemática], si [matemática] \ mu \ ne 0 [/ matemática] es una raíz de [matemática] p (x) [/ matemática] con multiplicidad [matemática] s [/ matemática], entonces [matemática] 1 / \ mu [/ matemática] es también una raíz de [matemática] p (x) [/ matemática] con multiplicidad [matemática] s [/ matemática]. Por lo tanto, puede aplicar este resultado a su pregunta para probar lo que está pidiendo de inmediato.

Answer 2

Aquí el término constante es uno. Por lo tanto, cada raíz es distinta de cero.

Como los coeficientes están distribuidos simétricamente, obtenemos,

[matemáticas] f (\ mu) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Longleftrightarrow \ mu ^ {6} + a \ mu ^ {5} + b \ mu ^ {4} + c \ mu ^ {3} + b \ mu ^ {2} + a \ mu + 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Longleftrightarrow \; \ mu ^ {6} \ cdot [/ matemáticas] [matemáticas] f (\ frac {1} {\ mu}) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Longleftrightarrow f (\ frac {1} {\ mu}) = 0 [/ matemáticas]

Por lo tanto, [math] \; \ mu \; \; [/ math] es una raíz de [math] \; \; f (x) [/ math] [math] = 0 \; \; [/ math] iff [ matemáticas] \; \; \ frac {1} {\ mu} \; [/ matemáticas] [matemáticas] \; [/ matemáticas] es una raíz de [matemáticas] \; \; f (x) = 0. [/matemáticas]

Answer 3

Paso 1: raíz.

obviamente, [math] \ mu [/ math] no es 0. y,

[matemáticas] f (x) = x ^ 6f (\ frac {1} {x}) [/ matemáticas]

entonces, [matemáticas] f (\ frac {1} {\ mu}) = \ frac {f (\ mu)} {\ mu ^ 6} = 0 [/ matemáticas]

Paso 2: raíz repetida.

[matemáticas] f (\ frac {1} {x}) = \ frac {f (x)} {x ^ 6} [/ matemáticas]

para obtener derivada,

[matemáticas] f ‘(\ frac {1} {x}) = \ frac {f’ (x) x ^ 6-6x ^ 5f (x)} {(x ^ 6) ^ 2} [/ matemáticas]

de [math] f (\ mu) = f ‘(\ mu) = 0 [/ math], podemos obtener [math] f’ (\ frac {1} {\ mu}) = 0 [/ math]

combinando el resultado del paso 1, paso 2, encontramos [math] f (\ frac {1} {\ mu}) = f ‘(\ frac {1} {\ mu}) = 0 [/ math]

entonces, [math] \ frac {1} {\ mu} [/ math] también es una raíz repetida de f (x) = 0.

Answer 4

Gracias por la solicitud de respuesta.

Tengo [matemáticas] f (x) = x ^ 6 + ax ^ 5 + bx ^ 4 + cx ^ 3 + bx ^ 2 + ax + 1 [/ matemáticas]

y [math] \ mu [/ math] es una raíz repetida de [math] f (x) = 0 [/ math].

Ahora, cuando observa la ecuación [matemática] f (x) = 0; [/ matemática] claramente [matemática] 0 [/ matemática] no es la raíz de la ecuación [matemática] f (x) = 0 [/ matemática].

Por lo tanto, divida la ecuación [matemáticas] f (x) = 0 [/ matemáticas] por [matemáticas] x ^ 6 [/ matemáticas]. Entonces tenemos

[matemáticas] \ dfrac {x ^ 6 + ax ^ 5 + bx ^ 4 + cx ^ 3 + bx ^ 2 + ax + 1} {x ^ 6} = 0 [/ matemáticas]

Este paso es válido como [matemática] x ≠ 0 [/ matemática].

Entonces [matemáticas] 1+ \ dfrac {a} {x} + \ dfrac {b} {x ^ 2} + \ dfrac {c} {x ^ 3} + \ dfrac {b} {x ^ 4} + \ dfrac {a} {x ^ 5} + \ dfrac {1} {x ^ 6} = 0 [/ matemáticas]

En términos claros, [matemáticas] 1 + a \ cdot (\ dfrac {1} {x}) + b \ cdot (\ dfrac {1} {x}) ^ 2 + c \ cdot (\ dfrac {1} {x }) ^ 3 + b \ cdot (\ dfrac {1} {x}) ^ 4 + a \ cdot (\ dfrac {1} {x}) ^ 5 + (\ dfrac {1} {x}) ^ 6 = 0 [/ matemáticas]

O [matemáticas] (\ dfrac {1} {x}) ^ 6 + a \ cdot (\ dfrac {1} {x}) ^ 5 + b \ cdot (\ dfrac {1} {x}) ^ 4 + c \ cdot (\ dfrac {1} {x}) ^ 3 + b \ cdot (\ dfrac {1} {x}) ^ 2 + a \ cdot (\ dfrac {1} {x}) + 1 = 0 [/ matemáticas].

Como podemos ver esta ecuación, los coeficientes son exactamente los mismos para los términos, solo la variable [matemática] x [/ matemática] ha cambiado a [matemática] \ dfrac {1} {x} [/ matemática].

También es la misma ecuación [matemáticas] f (x) = 0 [/ matemáticas]. Por lo tanto, también tendría la raíz repetida [math] \ mu [/ math].

Por lo tanto, [matemáticas] \ dfrac {1} {x} = \ mu [/ matemáticas]

O [matemáticas] x = \ dfrac {1} {\ mu} [/ matemáticas]

Entonces [math] \ dfrac {1} {\ mu} [/ math] también es una raíz repetida de la ecuación [math] f (x) = 0 [/ math].

media pensión

Answer 5

Primero demuestre que si f (x) = a_nx ^ n + a_ {n-1} x ^ {n-1} +… + a_0, y g (x) = a_0x ^ n + a_1x ^ {n-1} +… + a_n ,, y si r es un número distinto de cero tal que f (r) = 0, entonces g (1 / r) = 0. Ahora use esto para mostrar que si r es una raíz repetida positiva de la ecuación f (x) = 0, entonces 1 / r es una raíz repetida de la ecuación g (x) = 0. Luego, en el caso del problema sobre el que preguntó, f = g, entonces ya está.

Answer 6

Si observamos cuidadosamente, f (x) = f (1 / x) para cada x distinto de cero. Por lo tanto, si ‘a’ es una raíz repetida de este polinomio, entonces ‘1 / a’ también es una raíz repetida del polinomio.