Si un círculo [matemático] C_n [/ matemático] está inscrito en el cuadrado [matemático] S_n [/ matemático] y luego el cuadrado [matemático] S_ {n + 1} [/ matemático] está inscrito en [matemático] C_n [/ matemáticas] y así sucesivamente, ¿qué es [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} a_n [/ matemáticas] donde [matemáticas] a_n [/ matemáticas] denota la suma de las áreas de los círculos [matemáticas] C_1, … C_n [/ matemáticas]?

Answer 1

Para enmarcar la suma de la serie, considere el diagrama anterior.

Comenzando con un cuadrado de unidades de lado, se inscribe un círculo en el cuadrado.

Entonces, el diámetro del círculo corresponde al lado del cuadrado y también tiene unidades ‘s’ de largo.

Al inscribir un cuadrado dentro del círculo, podemos observar que el diámetro del círculo ahora es la longitud de la diagonal del cuadrado dentro de él.

La diagonal de un cuadrado es √2 veces el lado, por lo tanto, la situación inversa es que el lado del cuadrado es 1 / √2 veces la diagonal.

Aquí, la longitud de la diagonal es s, entonces, el lado del cuadrado inscrito dentro del círculo es s / √2.

Nuevamente, al inscribir un círculo dentro del cuadrado dado y siguiendo la metodología anterior, obtenemos la longitud del segundo círculo como s / √2.

De esta manera, observamos que la razón común es 1 / √2 y, por lo tanto, obtenemos una serie para los diámetros:

s, s / √2, s / 2, s / 2√2,… ..n términos

La secuencia resultante para los radios es:

s / 2, s / 2√2, s / 4,… ..n términos

Para encontrar: [math] lim_ {n-> ∞} a_n [/ math], donde [math] a_n [/ math] es la suma de las áreas de los círculos ‘n’.

Aplicando límite a la suma de las áreas de los círculos

[matemáticas] lim_ {n-> ∞} a_n [/ matemáticas]

[matemáticas] = lim_ {n-> ∞} π (\ frac {s} {2}) ^ 2 + π (\ frac {s} {2√2}) ^ 2, π (\ frac {s} {4 }) ^ 2 + …… [/ matemáticas] n términos

[matemáticas] = lim_ {n-> ∞} πs ^ 2 [(\ frac {1} {4}) + (\ frac {1} {8}) + (\ frac {1} {16}) + (\ frac {1} {32}) +… .. [/ matemática] n términos [matemática]] [/ matemática]

[matemáticas] = lim_ {n-> ∞} πs ^ 2 [\ frac {1/4} {1 – 1/2}] [/ matemáticas] [Como n tiende al infinito, la progresión geométrica dada se convierte en un GP infinito y se usa la formula para la suma de GP infinito]

[matemáticas] = lim_ {n-> ∞} [\ frac {1} {2}] πs ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] = [\ frac {1} {2}] πs ^ 2 [/ matemáticas] [Las constantes no se ven afectadas por el límite]

PD Corrígeme si me equivoco, esta es la primera vez que me encuentro con una suma como esta XD

Answer 2

Tome un cuadrado S1 del lado 2 a.

El diámetro del círculo C1 dentro de S1 = longitud de S1 = 2a.

Por lo tanto, el radio de C1 = a, área de C1 = pi * (a ^ 2).

Ahora, para el cuadrado S2 dentro de C1, longitud de la diagonal de S2 = diámetro de C1 = 2a.

Radio de C2 = 1/2 * longitud del lado del cuadrado = 1/2 * 1 / sqrt (2) * longitud de la diagonal.

= a / sqrt (2).

Área de C2 = pi * (a ^ 2) / 2.

Ahora dibuja el diagrama. No importa cuál sea el valor de a, la relación de C1 a C2 es siempre 2: 1. Puede reducir C1 al tamaño de C2 y C2 se reducirá al tamaño de C3 con un área de C3 que es la mitad del área de C2. Deje que el área de Cn sea An.

Por lo tanto, el valor de a (n) como n-> inf = A1 + A2 + A3 +…. + An +… ..

a (inf) = A1 (1 + 1/2 + 1 / (2 ^ 2) + 1 / (2 ^ 3) +….)

Ahora, dividiendo por 2, a (inf) / 2 = A1 (1/2 + 1 / (2 ^ 2) + 1 / (2 ^ 3) +….)

Restando los términos respectivos, a (inf) / 2 = A1 * 1

a (inf) = 2 * A1 = 2 * pi * a ^ 2. Para 2a es la longitud del lado del cuadrado.

Answer 3

Dibuja los dos primeros círculos. Tenga en cuenta que el radio del círculo más pequeño es sqrt (2) veces más pequeño que el del círculo más grande. Por lo tanto, el área del círculo más pequeño es 2 veces más pequeña que la del círculo más grande.

Entonces, las áreas de los círculos representan una progresión geométrica infinita con cociente 0.5.

Su suma es S / (1-0.5) = 2S donde S es el área del círculo más grande .

Answer 4

La respuesta se está derrumbando, por eso estoy escribiendo este texto.

En cuanto a la suma de GP infinito, puede ver este enlace, https://en.wikipedia.org/wiki/Ge …

Answer 5

Lo primero que debe notar es que el área de [matemáticas] S_ {n + 1} [/ matemáticas] es la mitad del área de [matemáticas] S_n [/ matemáticas]. ¿Por qué? Porque el diámetro de [math] C_n [/ math] es el lado de [math] S_n [/ math] y la diagonal de [math] S_ {n + 1} [/ math].

Por lo tanto, el área de [matemáticas] C_ {n + 1} [/ matemáticas] es la mitad del área de [matemáticas] C_n [/ matemáticas].

Entonces [math] \ sum \ limits_ {n = 1} ^ \ infty \ operatorname {area} C_n = 2 \ operatorname {area} C_1 = \ operatorname {area} C_0 [/ math].

Donde [math] \ operatorname {area} C_0 = \ frac \ pi4 \ operatorname {area} S_0 = \ frac \ pi2 \ operatorname {area} S_1 [/ math].