En términos simples, ¿cómo se convierten los vectores en líneas? ¿Y qué son los escalares, la dependencia lineal, las diagonales y las proyecciones? Educación te da un futuro mejor

Permítanme tratar de ilustrarlos con un ejemplo simple. Considere tener que viajar de San Francisco a Las Vegas. Aquí hay algunas instrucciones de manejo: San Francisco a Las Vegas. Como puede ver, el viaje a Las Vegas es bastante largo y no hay una carretera en línea recta que conecte a los dos porque la administración de carreteras de Eisenhower no creía que los hippies quisieran apostar en los casinos. Entonces, lo que terminas teniendo es un viaje de 570 millas. Por otro lado, si observa la distancia de vuelo, que es casi una línea recta, es aproximadamente 150 millas más corta: la distancia entre San Francisco y Las Vegas. Esa línea recta entre SF y Las Vegas es su vector de desplazamiento. No importa si voló a Las Vegas en línea recta, o condujo allí por la I-5, o condujo desde SF con sus hijos a Disney World en Florida y luego a Las Vegas, su vector de desplazamiento seguirá siendo el mismo . Lo que va a cambiar es su distancia, que es escalar. Cuando conduce desde SF a Las Vegas por la I-5, conduce 570 millas. 570 es su valor de distancia escalar aquí. Ahora, digamos que volviste a SF después de perder en Black Jack. Su desplazamiento efectivo es cero . Tendrás razón al decir “¡Qué demonios! ¡Conduje más de 1000 millas, escuché una radio horrible y bebí mucho café de la estación de servicio para mantenerme alerta y me estás diciendo que no hice nada!” . Sí, porque de acuerdo con la ecuación de trabajo, [matemáticas] W = F \ veces s [/ matemáticas], has hecho cero trabajo. Pero olvídate de esa ecuación por ahora. Su valor escalar, es decir, la distancia recorrida, sigue siendo 1140 millas.

Ahora sobre proyecciones. Digamos que tenías que darle indicaciones a Superman para llegar a Las Vegas. Por supuesto, podrías decirle que use la navegación GPS. Pero vamos! El es Superman. ¡No necesita ningún GPS apestoso! En cambio, le das instrucciones a lo largo de instrucciones con las que ya está familiarizado: Sur y Este. Ahora, no sé las distancias exactas, así que te voy a dar valores aproximados. Usted dice: “Vuela 350 millas al este y 150 millas al sur” o “Vuela 150 millas al sur y 350 millas al este”. La misma cosa. Ahora puede usar su brújula interna y volar al brillante hotel de Donald Trump. Ahora, las 350 millas son la proyección de la línea de 415 millas a lo largo de la dirección este y las 150 millas son la proyección de la línea de 415 millas a lo largo de la dirección sur.

Otra forma de pensar en las proyecciones es esta. ¿Alguna vez corrió en una cinta de correr? Si eres como yo, te habrías metido con la configuración de dificultad para tratar de colocarlo en la pendiente más empinada posible para ver si incluso puedes caminar sobre ella. Ahora, la razón por la cual se hace más difícil con el aumento de la pendiente es por la gravedad. Comencemos con el caso en el que camina en una cinta plana. Estás haciendo cero trabajo en la dirección vertical. Esto se debe a que, aunque la gravedad continúa actuando sobre usted, en realidad no está trabajando para oponerse a la gravedad de ninguna manera mientras camina. Aumente la pendiente solo un poco. Sientes que estás ejerciendo más esfuerzo del que eras. Eso es porque ahora estás caminando un poco en dirección horizontal y vertical. Pero debido a que la inclinación es tan pequeña, la distancia vertical que recorre cada segundo es muy pequeña, por lo que no está trabajando mucho contra la gravedad. Aumenta la pendiente más. Descubrirás que tienes que trabajar más duro. Es porque, ahora, estás viajando más distancia verticalmente cada segundo de lo que estabas antes y tienes que luchar más con la gravedad. Esencialmente, debido a que el ángulo que la cinta de correr hace al suelo está aumentando, su proyección vertical se está volviendo más grande y más gravedad está actuando sobre ella. En la siguiente imagen, la línea roja es el cinturón de la cinta de correr y la línea negra es la proyección vertical. Cuanto mayor sea el ángulo entre las líneas roja y verde, más difícil será trabajar contra la gravedad. En el caso más alto, la línea roja sería vertical y esencialmente estarías escalando rocas. Sin embargo, también es un ejercicio bastante bueno.

Sobre la dependencia lineal, intentaré explicar con el ejemplo de Superman. Le dijimos a Superman que recorriera 350 millas al este y 150 millas al sur. Este y Sur son direcciones independientes. No se puede expresar el Sur en términos de Oriente y viceversa. Por otro lado, puede expresar la dirección sudeste en términos de este y sur. Por lo tanto, el sudeste y el este dependen unos de otros. Así son el sudeste y el sur. Se puede decir que 500 millas al sudeste son realmente 400 millas al este y 300 millas al sur. Sin embargo, 300 millas al sur no es nada en el este. Por lo tanto, Sur y Este son direcciones linealmente independientes. Si desea ubicar un objeto en un espacio bidimensional, debería usar 2 vectores linealmente independientes. Si desea un objeto ubicado en un espacio tridimensional (como un satélite), utilice 3 vectores linealmente independientes, el adicional es la altitud.

Espero que eso ayude. Si necesita alguna aclaración, deje un comentario e intentaré solucionarlo en la respuesta.