¿Cuál es el fundamento de las matemáticas?

Answer 1

La teoría de conjuntos es un área de las matemáticas que se usa bastante en la mayoría de las matemáticas. Puede usar la teoría de conjuntos para definir la aritmética de enteros, pero no es necesario. Es casi fundamental, pero hay dos cosas debajo de la teoría de conjuntos que son más básicas.

Para ver qué es realmente básico, comience con la definición general de las matemáticas:

La matemática es el estudio riguroso de los conceptos abstractos de cantidad, número y espacio.

Cantidad, número y espacio son atributos abstractos de cosas que vemos en el mundo real. Las matemáticas estudian estos. Estos conceptos están en el centro de todas las matemáticas, desde la aritmética simple hasta las matemáticas avanzadas más arcanas. Podríamos considerarlos básicos, pero hay otras dos cosas aún más básicas que estos conceptos.

La abstracción es una base. Precede a las nociones de cantidad, número y espacio. Se emplea cuando se desarrollan estructuras matemáticas abstractas y cada vez que se usan las matemáticas para resolver un problema. Para ver esto, piense en los problemas verbales que cada niño tiene que resolver mientras estudia aritmética. Si tiene dos manzanas y agrega otra manzana, tiene tres manzanas. No resolvemos este problema corriendo a la tienda para obtener manzanas. Resumimos el número de manzanas del enunciado del problema y realizamos el cálculo 2 + 1 para obtener 3. De eso deducimos que hay tres manzanas.

La lógica es la otra base. Es necesario para el estudio de las matemáticas y para la inferencia en la aplicación de las matemáticas. A principios del siglo XX, toda la matemática recibió una base rigurosa en la lógica formal. Los matemáticos (aparte de los que trabajan en fundamentos o lógica matemática) no se obsesionan con la lógica formal. Sin embargo, la lógica es la base necesaria para cada prueba.

Answer 2

No creo que haya tal pensamiento como una base fundamental sobre la cual se construyen las matemáticas. Los griegos basaron todo en la geometría. Más tarde, la aritmética de enteros se convirtió en la base y después de eso se estableció la teoría. Con la paradoja de Russell se dio cuenta de que no se puede basar los axiomas de la teoría de conjuntos en ideas puras simples. Tienes que construir estructuras de teoría de conjuntos usando varias reglas hasta que tengas suficiente, pero aún no puedes escribir declaraciones sobre colecciones de todos los conjuntos que has definido sin profundizar en la teoría de clases. La geometría y la teoría de números siguen siendo bases perfectamente buenas para las matemáticas, entonces, ¿cómo decides qué es más fundamental?

Creo que es un error pensar que las estructuras naturales en matemáticas tienen definiciones más simples o mejores y lo mismo se aplica a los axiomas de las matemáticas en sí. Podría preguntar cuál es la definición más fundamental del concepto de computabilidad. La definición requiere que especifique algún tipo de computadora teórica, como una máquina de Turing, pero esto es completamente arbitrario. Hay muchas alternativas que son igualmente buenas y todo lo que puede hacer es demostrar que todas son equivalentes. Lo que hace que los conceptos sean interesantes y útiles en matemáticas no es cuán buena sea su definición básica, sino más bien su universalidad. Puede pensar que la mejor definición de PI es en términos de un círculo, pero también podría definirse en términos de series infinitas o el período de funciones que obedecen a ecuaciones diferenciales simples. Lo que hace que PI sea tan interesante es que aparece en todas las matemáticas, no solo en geometría. Esto es lo que entendemos por universalidad. Un concepto matemático se juzga por su utilidad universal, no por lo básica y simple que es su definición.

Entonces las matemáticas en sí también tienen muchos puntos de partida diferentes, pero todos conducen a lo mismo. Algunos puntos de partida o axiomas pueden ser más convenientes dados nuestros intereses matemáticos preferidos actuales, pero en realidad no son más fundamentales que cualquier otro punto de partida que conduzca al mismo cuerpo de ideas matemáticas.

Answer 3

Los requisitos previos para las matemáticas son un lenguaje preciso y una especie de lógica para trabajar con ese lenguaje.

La mayoría de las matemáticas se pueden hacer con la lógica clásica de primer orden y un sistema axiomático. A veces se utilizó la lógica de orden superior, pero desde la invención de la teoría de conjuntos, que es una teoría de primer orden, la lógica de orden superior puede ser reemplazada por la teoría de conjuntos.

Además de la lógica clásica, algunos matemáticos utilizan la lógica intuicionista en su lugar.

Casi todas las matemáticas tienen un uso para los números naturales (enteros no negativos). A veces aparecen en cuantificadores. Por ejemplo, la afirmación “si un espacio vectorial tiene una base con [math] n [/ math] vectores, entonces cada base tiene [math] n [/ math] vectores” cuantifica universalmente [math] n [/ math]. Entonces la teoría de números está detrás de la mayoría de las matemáticas. La teoría de números es en sí misma una teoría de primer orden, pero puede abarcarla si lo desea.

La teoría de los números reales y complejos subyace a muchas matemáticas y, a su vez, se basan en la teoría de conjuntos (a menos que desee utilizar una lógica de orden superior). Los constructivistas, incluidos los intuicionistas, tienen una teoría diferente de los números reales y complejos, por lo que muchas matemáticas son diferentes para ellos.

Answer 4

La aritmética, la teoría de ecuaciones y la teoría de conjuntos son fundamentales para las matemáticas.

Answer 5

Gran pregunta. Se han hecho muchas reflexiones sobre esto, particularmente en el siglo XX. Le sugiero que lea el artículo de WP Fundamentos de las matemáticas, y tal vez siga algunas de las referencias que se dan allí.