La parte difícil de responder una pregunta como esta es acordar lo que realmente cuenta como prueba. También con la mayoría de las “pruebas sin palabras”, las imágenes no siempre son suficientes y algunas palabras son necesarias para comprender realmente lo que está sucediendo.
Aquí hay uno que realmente me gusta. Me topé con esta gema en mathoverflow [1].
Prueba de que [matemáticas] 1 + 2 + 3 + \ cdots + n = \ binom {n + 1} {2} [/ matemáticas] :
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(Si el gif animado no funciona, pruebe este enlace: https://i.imgur.com/HCfGOYp.gif)
Entonces, ¿qué está pasando aquí? Hay [matemática] n + 1 [/ matemática] círculos azules en la parte inferior y [matemática] 1 + 2 + 3 + \ cdots + n [/ matemática] círculos amarillos en total (para la imagen que tenemos aquí, [matemática] n = 6 [/ matemáticas]).
Cada círculo amarillo corresponde a un par único de círculos azules y cada par de círculos azules corresponde a un círculo amarillo único.
Por lo tanto, el número de círculos amarillos y el número de pares de círculos azules debe ser el mismo.
Dado que hay [matemática] n + 1 [/ matemática] círculos azules, el número de pares de círculos azules es [matemática] {n + 1} \ elegir {2} [/ matemática].
De ello se deduce que [matemáticas] 1 + 2 + 3 + \ cdots + n = \ binom {n + 1} {2} [/ matemáticas].
Notas al pie
[1] Pruebas sin palabras
