El valor [math] e [/ math] proviene de la función exponencial, [math] \ text {exp} (x) [/ math], que se define como la función que es igual a su propia derivada. Es decir, [math] \ frac {d} {dx} \ text {exp} (x) = \ text {exp} (x) [/ math], con [math] e = \ text {exp} (1) [/matemáticas].
Entonces, ¿cómo definiríamos [matemáticas] \ text {exp} (x) [/ matemáticas]? Podemos comenzar con la serie de potencia: [matemática] \ text {exp} (x) = \ sum_ {k = 0} ^ \ infty a_k x ^ k [/ math]. Ahora podemos usar la regla de potencia: [matemáticas] \ frac {d} {dx} ax ^ k = kax ^ {k-1} [/ matemáticas].
Como queremos que [math] \ text {exp} (x) [/ math] sea igual a su propia derivada, queremos que [math] \ frac {d} {dx} a_kx ^ x = ka_kx ^ {k-1} = a_ {k-1} x ^ {k-1} [/ matemática]. Entonces establecemos los coeficientes iguales, y obtenemos [math] a_k = \ frac {a_ {k-1}} {k} [/ math].
Ahora nos encontramos con un pequeño problema: ¡no sabemos qué es [math] a_0 [/ math]! El problema es que, dado que [matemáticas] \ frac {d} {dx} cf (x) = c \ frac {d} {dx} f (x) [/ matemáticas], la función que queremos es única hasta una constante múltiple. Es natural, entonces, dejar que [math] a_0 = 1 [/ math].
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De esto, obtenemos [matemáticas] a_1 = \ frac {1} {1} = 1, a_2 = \ frac {1} {2}, a_3 = \ frac {\ frac {1} {2}} {3} = \ frac {1} {6} [/ math] y así sucesivamente. En general, obtenemos [math] a_k = \ frac {1} {k!} [/ Math]. Por lo tanto, [matemática] \ text {exp} (x) = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} \ frac {x ^ k} {k!} [/ Math]. Si conectamos [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas], obtenemos [matemáticas] \ text {exp} (1) = e = \ sum_ {k = 0} ^ \ infty \ frac {1} {k!} [/matemáticas]. Desde allí puede encontrar cualquier aproximación decimal que desee.
Encontrar valores para otras constantes matemáticas funciona exactamente de la misma manera. Tomamos una definición, pensamos en lo que significa la definición y luego trabajamos desde allí.