¿Cómo puedo encontrar el área de un cuadrilátero irregular si solo conozco la longitud de los cuatro lados y las dos longitudes diagonales?

Answer 1

Hay muchas fórmulas porque el problema está sobrecargado: los cuatro lados y las dos diagonales deben satisfacer
[matemáticas] \ begin {vmatrix} 0 y 1 y 1 y 1 y 1 \\ 1 y 0 y AB ^ 2 y AC ^ 2 y AD ^ 2 \\ 1 y BA ^ 2 y 0 y BC ^ 2 y BD ^ 2 \\ 1 & CA ^ 2 & CB ^ 2 & 0 & CD ^ 2 \\ 1 & DA ^ 2 & DB ^ 2 & DC ^ 2 & 0 \ end {vmatrix} = 0 [/ math].
Esta es la fórmula determinante de Cayley-Menger para [matemática] 288V ^ 2 [/ matemática], donde [matemática] V [/ matemática] es el volumen del tetraedro con estos seis bordes; un cuadrilátero, por supuesto, es un tetraedro de volumen cero.

Probablemente la fórmula más simple para el área del cuadrilátero es una forma de la fórmula de Bretschneider :
[matemáticas] \ frac14 \ sqrt {4AC ^ 2BD ^ 2 – (AB ^ 2 – BC ^ 2 + CD ^ 2 – DA ^ 2) ^ 2} [/ matemáticas].
Se deriva más fácilmente de la fórmula vectorial [math] \ tfrac12 | \ vec {AC} \ times \ vec {BD} | [/ math]. Funciona si el cuadrilátero es convexo o cóncavo.

Answer 2

En tu figura, toma dos triángulos ABC y ADC.

Usa la fórmula del área del triángulo para encontrar los dos ares y luego suma para obtener el área total.

Fórmula para el área del triángulo en términos de lados a, b, c:
Semiperímetro [matemática] s = (a + b + c) / 2 [/ matemática]
Área [matemáticas] A = \ sqrt {(s (sa) (sb) (sc))} [/ matemáticas]

Aquí ambas diagonales están dentro del área, por lo que agregamos las áreas. Si la CA “diagonal” estuviera fuera del área, en cuyo caso, la DB será corta, entonces tenemos que restar las áreas.

Answer 3

Conoces las tres longitudes laterales de [math] \ Delta ABC [/ math] y las tres longitudes laterales de [math] \ Delta ACD [/ math]. Por lo tanto, puede usar la fórmula de Heron [matemáticas] K = \ sqrt {s (sa) (sb) (sc)} [/ matemáticas] (donde [matemáticas] s [/ matemáticas] es el semiperímetro y [matemáticas] a, b , c [/ math] son ​​las longitudes laterales) para calcular las áreas de estos triángulos. Luego, suma las dos áreas para obtener el área de [math] ABCD [/ math].

Nota: Esto no supone que el cuadrilátero [matemático] ABCD [/ matemático] sea cíclico. Sin embargo, el uso de la fórmula [math] \ sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd)} [/ math] requiere que [math] ABCD [/ math] sea un cuadrilátero cíclico.

EDITAR: Como Anders Kaserorg ha señalado, mi solución implícitamente asumió que [math] ABCD [/ math] es convexo (es decir, que la imagen es algo precisa). Si [math] ABCD [/ math] no es convexo, debes ser un poco más cuidadoso acerca de cómo dividir el cuadrilátero en dos triángulos. Específicamente, encuentre el ángulo del vértice que sea mayor que [matemática] 180 ^ {\ circ} [/ matemática], y corte a lo largo de la diagonal que pasa a través de ese vértice.

Answer 4

Aditya Pappula – La fórmula de Brahmagupta es válida solo para cuadriláteros cíclicos. Para el caso general que se muestra, solo se requiere una diagonal. Divide el quad en dos triángulos y usa la fórmula de Heron para cada uno. Luego, agréguelos o reste según la configuración geométrica.

Answer 5

Para averiguar el área de cualquier cuadrilátero necesitamos:

Todas estas medidas:

La distancia de A a B es

La distancia de B a C es

La distancia de C a D es

La distancia de D a A es

Y cualquiera de estas medidas:

Ángulo en la esquina A

Ángulo en la esquina B

Ángulo en la esquina C

Ángulo en la esquina D

Distancia diagonal de A a C

Distancia diagonal de B a D

Solución:

Teniendo la longitud diagonal junto con las longitudes laterales podemos llegar a la solución con la fórmula de Heron

Al dividir el cuadrilátero a lo largo de la diagonal BD para formar dos triángulos, dividimos el problema en dos partes.

Encuentra el área para

Como sabemos la longitud diagonal junto con la longitud de los lados, podemos usar la fórmula de Heron para el área de cualquier triángulo.

Fórmula de la garza:

Dadas las longitudes a , byc de los lados de un triángulo, el área A del triángulo es:

donde el valor s es el semiperímetro del triángulo. En otras palabras,

Si supiéramos solo un ángulo del cuadrilátero junto con la longitud de sus lados, usaremos la Ley de cosenos para encontrar la longitud de la diagonal:

La ley de los cosenos:

Para cualquier triángulo con lados de longitud a, byc,

donde el ángulo C es el ángulo opuesto a la longitud del lado c.

Y luego usa la fórmula de Heron para encontrar el área de cada triángulo.

Finalmente, área del cuadrilátero =

Answer 6

Puede usar la fórmula de Heron (conocida popularmente como la fórmula del héroe) para los triángulos después de dividir el cuadrilátero en dos triángulos a lo largo de cualquier diagonal. Solo resumirlo. O si conoce las coordenadas, puede usar el producto vectorial de la cruz para cada triángulo.

Answer 7

Personalmente, creo que la forma más fácil sería comenzar con el origen y trazar los puntos en el sistema de coordenadas … Las ecuaciones de lados ahora se pueden encontrar e integrar fácilmente con respecto a x o y según convenga para encontrar el área … esta solución funcionará para cuadriláteros cóncavos y convexos

Answer 8

¿Solo conoces los 4 lados y las diagonales? Que mas quieres

Las otras almas te han ayudado a responder. Solo quería decir que en la vida real nunca te darás el lujo de tener tantos datos. Este era un problema fácil, con media docena de enfoques simples. Podrías haberlo hecho tú mismo.

Answer 9

Como se conocen los cuatro lados y las dos diagonales, puede aplicar las ecuaciones de Heron para encontrar las áreas de los triángulos ABC y ADC y sumarlas.

Otro método: Brahmagupta (matemático indio, n. 598, fallecido entre 660 y 670 d. C.) ha dado la fórmula para calcular el área de un cuadrilátero como [(sa) (sb) (sc) (sd)] ^ 0.5 donde s = [a + b + c + d] / 2. Aquí no necesita las longitudes de las diagonales.

Answer 10

Use la regla del coseno dos veces para los ángulos en A y C. Luego use la regla del seno para el área (1 / 2xaxbxsineC) para los dos triángulos. Solo se necesita una diagonal.