Si [math] z = cis (\ theta) [/ math], entonces ¿cómo puede uno expresar las partes reales e imaginarias de [math] \ dfrac {z – 1} {z + 1} [/ math] en términos de [ matemáticas] \ theta [/ matemáticas] con la respuesta simplificada tanto como sea posible?

[matemáticas] \ dfrac {z-1} {z + 1} = \ dfrac {e ^ {i \ theta} -1} {e ^ {i \ theta} +1} [/ matemáticas]

[matemáticas] = [/ matemáticas] [matemáticas] \ dfrac {e ^ {i \ theta / 2} (e ^ {i \ theta / 2} -e ^ {- i \ theta / 2})} {e ^ { i \ theta / 2} (e ^ {i \ theta / 2} + e ^ {- i \ theta / 2})} [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {2i \ sin (\ theta / 2)} {2 \ cos (\ theta / 2)} [/ matemáticas]

[matemáticas] = i \ tan [/ matemáticas] [matemáticas] {(\ theta / 2)} [/ matemáticas]

Entonces la respuesta es puramente imaginaria.

Más en general, tenemos:

[matemáticas] \ dfrac {z-1} {z + 1} = 1 – [/ matemáticas] [matemáticas] \ dfrac {2} {z + 1} [/ matemáticas]

Entonces, la expresión es una combinación de un desplazamiento hacia la derecha por 1 unidad, una inversión, una escala de 2 y una reflexión en la línea x = 1/2. Esta pregunta pregunta qué sucede con el círculo unitario. La respuesta es que se convierte en el eje imaginario. Este tipo de transformación siempre envía círculos y líneas a círculos y líneas.

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