¿Por qué tan theta = sin theta = theta para ángulos pequeños? ¿Cuál es la explicación para esto?

Answer 1

Mira el siguiente triángulo y recuerda cómo definimos:

• [matemáticas] \ sin (\ theta) = \ dfrac {\ text {opuesto}} {\ text {hypotenuse}} = \ dfrac {a} {h} [/ math]
• [matemáticas] \ cos (\ theta) = \ dfrac {\ text {adyacente}} {\ text {hypotenuse}} = \ dfrac {b} {h} [/ math]
• [matemáticas] \ tan (\ theta) = \ dfrac {\ text {opuesto}} {\ text {adyacente}} = \ dfrac {a} {b} [/ matemáticas]

Ahora, para un theta pequeño, tendremos un triángulo como este:

Es decir, cuando [math] \ theta [/ math] es pequeño, el opuesto (a) es muy pequeño, mientras que el adyacente (b) y la hipotenusa (h) son relativamente grandes. Por lo tanto,

• [matemáticas] \ sin (\ theta) = \ dfrac {a} {h} \ aprox 0 [/ matemáticas]
• [matemáticas] \ tan (\ theta) = \ dfrac {a} {b} \ aprox 0 [/ matemáticas]

Además, observe que byh tienen aproximadamente la misma longitud (h es solo un poco más larga) y, por lo tanto:

• [matemáticas] \ cos (\ theta) = \ dfrac {b} {h} \ aprox 1 [/ matemáticas]
• [matemáticas] b \ aprox. h \ text {so} \ dfrac {a} {h} \ approx \ dfrac {a} {b} \ text {y por lo tanto} \ sin (\ theta) \ approx \ tan (\ theta) [/ matemáticas] (esto responde a su primera pregunta)

Ahora, para responder la segunda pregunta: ¿por qué es [matemática] \ sin (\ theta) \ aprox \ theta [/ matemática], recuerde cómo se definen los ángulos en radianes. Citando la longitud del arco y la medida en radianes:
Es decir, en nuestro caso,
Vamos a acercarnos:
Básicamente, [math] \ theta \ text {(en radianes)} = \ dfrac {s} {h} [/ math].
Como [math] \ theta [/ math] es pequeño, el arco es casi una línea recta, de modo que [math] s \ aprox a [/ math] y, por lo tanto, [math] \ theta = \ dfrac {s} {h } \ approx \ dfrac {a} {h} = \ sin (\ theta) [/ math].

Si quiere profundizar más y ha tomado una clase de cálculo y aprendió sobre la serie Taylor, recuerde que (imagine que [matemáticas] x \ texto {es} \ theta [/ matemáticas] aquí):
Tenga en cuenta que dado que [matemáticas] x ^ 2, x ^ 3, x ^ 4,… [/ matemáticas] son ​​mucho más pequeñas que [matemáticas] x [/ matemáticas] para valores pequeños de [matemáticas] x [/ matemáticas], el dominante El término en la serie de Taylor para [matemáticas] \ sen x \ text {y} \ tan x [/ matemáticas] es [matemáticas] x [/ matemáticas] en ambos casos. Y por lo tanto, cuando [math] x [/ math] está cerca de [math] 0, \ sin x \ approx \ tan x \ approx x [/ math]

Answer 2

Observa el gráfico.

Azul- [matemáticas] f (x) = \ tan (x) [/ matemáticas]

Rojo- [matemáticas] f (x) = \ sin (x) [/ matemáticas]

¡Acerquémonos cerca del origen!

Ahora un poco más.

Como puede observar, a medida que [math] x [/ math] se hace cada vez más pequeño, ambas curvas toman casi el mismo valor.

Para los valores anteriores de [matemática] x [/ matemática] observe que ambas curvas casi se superponen (aunque en realidad no lo hacen).

Y ahora son casi idénticos.

Por lo tanto, concluimos que para pequeñas [matemáticas] x [/ matemáticas] [matemáticas] \ tan (x) ≈ \ sin (x) [/ matemáticas]

Este resultado se usa a menudo en un movimiento armónico simple para reducir considerablemente la complejidad.

Answer 3

Considere un triángulo de ángulo recto ABC, con

Para valores bajos de

Answer 4

Como los demás lo han respondido bien. Solo agregaré la propiedad muy básica de los límites. Si está tomando un triángulo en ángulo recto cuya [matemática] \ theta [/ matemática] es muy pequeña, aparecerá como una sola línea. [matemáticas] \ theta [/ matemáticas] está entre la base y la hipotenusa.
Por lo tanto, a medida que [math] \ theta [/ math] disminuye, el [math] cos (\ theta) [/ math] o [math] \ frac {base} {hypotenuse} [/ math] tiende a 1 porque los dos lados tienden a fusionarse.
Como sabemos, [math] tan (\ theta) [/ math] = [math] \ frac {sin (\ theta)} {cos (\ theta)} [/ math]. Por lo tanto, [math] tan (\ theta) [/ math] es más o menos igual a [math] sin (\ theta) [/ math]. para valores más pequeños de theta.

Answer 5

tan (x) = sin (x) / cos (x)
como x tiende a 0 cos (x) tiende a 1
así obtenemos tan (x) ≈ sen (x) en valores pequeños de x porque cos (x) tiende a 1

Answer 6

theta = n * pie & theta = (- 1) a la potencia n * 2n * pie