Este es el tipo de pregunta que es mucho más fácil de responder usando vectores. Si tenemos alguna línea mx + b podemos parametrizarla como (x, y) = t * (1, m) + (0, b). Para convencerse a sí mismo, esto tiene sentido, igualar estos componentes de forma inmediata da
[matemáticas] (x, y) = (t, mt + b) [/ matemáticas]
entonces, para cualquier punto con la coordenada x t, la coordenada y es m * t + b.
La siguiente herramienta que queremos es el producto de puntos. El producto punto entre dos vectores ayb , geométricamente, satisface la relación
[math] \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = | \ mathbf {a} | \, | \ mathbf {b} | \, \ cos \ theta [/ math]
donde [math] \ theta [/ math] es el ángulo entre los vectores. Algebraicamente, si nuestros vectores tienen componentes a = (ax, ay), b = (bx, by), el producto punto puede calcularse como
- Tenemos vectores [math] \ vec {a} [/ math] y [math] \ vec {b} [/ math]. La magnitud del vector [matemática] \ vec {a} [/ matemática] [matemática] – [/ matemática] [matemática] \ vec {b} [/ matemática] es 12.1 y está en el cuarto cuadrante. Cuando encuentro el ángulo del vector, ¿por qué debo agregar [math] 2 \ pi [/ math] para obtener la dirección real de [math] \ vec {a} [/ math] [math] – [/ math ] [matemáticas] \ vec {b} [/ matemáticas]?
- ¿Cuál es la forma más fácil de determinar qué proporción (SIN, COS, TAN) usar para encontrar los lados o ángulos faltantes de cualquier triángulo rectángulo dado con la longitud x de cualquier lado y el ángulo de X grados de cualquier ángulo dado?
- Ayuda matemática !! ¿Cómo se resuelve [matemáticas] \ cos (22.5 ^ \ circ) + \ sin (22.5 ^ \ circ) [/ matemáticas] en forma exacta?
- En el dibujo, decimos la proyección del primer ángulo y el tercer ángulo, ¿por qué el segundo y el cuarto ángulo no existen?
- Si [math] z = cis (\ theta) [/ math], entonces ¿cómo puede uno expresar las partes reales e imaginarias de [math] \ dfrac {z – 1} {z + 1} [/ math] en términos de [ matemáticas] \ theta [/ matemáticas] con la respuesta simplificada tanto como sea posible?
[math] \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = ax \ cdot bx + ay \ cdot por [/ math]
la equivalencia de estos dos proviene del álgebra lineal muy básica (la teoría de los vectores y los espacios vectoriales), se da aquí el producto Dot.
Ahora, si tenemos dos direcciones (1, m) y (1, n), que queremos que sean perpendiculares, simplemente imponemos la condición de que [matemáticas] \ theta = \ pi / 2 \ Rightarrow \ cos \ theta = 0 [/ math], por lo tanto, igualando nuestras dos definiciones del producto punto,
[matemática] 0 = 1 + nm \ Flecha derecha n = – \ frac 1m [/ matemática]
es decir, las pendientes son recíprocas negativas entre sí, como es de esperar.
Si, en cambio, tenemos un ángulo arbitrario [matemática] \ theta [/ matemática], la relación sigue siendo cierta, pero ahora el lado izquierdo es complicado:
[matemáticas] \ sqrt {1 + m ^ 2} \ sqrt {1 + n ^ 2} \ cos \ theta = 1 + nm [/ matemáticas]
Cuadrando ambos lados,
[matemáticas] (1 + m ^ 2 + n ^ 2 + m ^ 2n ^ 2) \ cos \ theta = 1 + 2nm + n ^ 2m ^ 2 [/ matemáticas]
Reorganizando esto en un cuadrado en n, resolviendo usando la fórmula cuadrática y simplificando da
[matemáticas] n = \ frac {2 m \ pm [(m ^ 2 + 1) \ sin (2 \ theta)]} {(m ^ 2 + 1) \ cos (2 \ theta) -m ^ 2 + 1 }[/matemáticas]
lo cual es completamente poco esclarecedor, aunque es fácil verificar que en los límites [matemática] \ theta = 0, \ pi / 2 [/ matemática] encontremos los resultados [matemática] n = m, -1 / m [/ matemática] respectivamente como cabría esperar. Hay dos soluciones, ya que podemos tener una línea que se gira en sentido horario o antihorario por [math] \ theta [\ math], que, en general, no tendrá la misma pendiente.
¡La moraleja de la historia es que los vectores son realmente poderosos, y que esto puede resolverse con técnicas de vectores! Pero la respuesta no es tan esclarecedora, es complicada y poco intuitiva, lo que debería ilustrar que las pendientes no son realmente una forma útil de pensar sobre estas cosas, es mejor pensar en ellas como vectores en primer lugar.