Ayuda matemática !! ¿Cómo se resuelve [matemáticas] \ cos (22.5 ^ \ circ) + \ sin (22.5 ^ \ circ) [/ matemáticas] en forma exacta?

Answer 1

[matemáticas] x = \ cos (22.5 ^ \ circ) + \ sin (22.5 ^ \ circ) [/ matemáticas]

[matemáticas] x [/ matemáticas] es claramente positivo.

[matemáticas] x ^ 2 = \ cos ^ 2 (22.5 ^ \ circ) + \ sin ^ 2 (22.5 ^ \ circ) + 2 \ cos (22.5 ^ \ circ) \ sin (22.5 ^ \ circ) [/ matemáticas]

Por supuesto, [matemáticas] \ cos ^ 2 a + \ sin ^ 2 a = 1 [/ matemáticas] es cierto para cualquier ángulo. Resistiré el impulso de derivar la fórmula senoidal de doble ángulo,

[matemáticas] \ sin (2a) = 2 \ sin a \ cos a [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 = 1 + \ sin (2 \ cdot 22.5 ^ \ circ) = 1 + \ sin (45 ^ \ circ) = 1 + \ sqrt {2} / 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ cos (22.5 ^ \ circ) + \ sin (22.5 ^ \ circ) = \ sqrt {1 + \ sqrt {2} / 2} [/ matemáticas]

Sabemos que [math] x [/ math] es positivo, por lo que ignoramos la raíz cuadrada negativa.

Oh, olvidé mencionar que este es otro ejemplo más de la escasez de ejemplos en trigonometría. Casi todos los ángulos de ejemplo que vemos están relacionados con [matemáticas] 30 ^ \ circ [/ matemáticas] o [matemáticas] 45 ^ \ circ. [/ Matemáticas]

Answer 2

Solución alternativa:

Dibuja un triángulo que A ^ = 90, B ^ = 67.5, C ^ = 22.5

Dibuje una línea desde B ^ a [AC] que el punto de intersección será D y

DB ^ C = C ^ = 22.5.

DB ^ A = AD ^ B = 45.

Deje que [AD] = 1 => [AB] = 1 => [BD] = sqrt (2) => [DC] = sqrt (2)

=> [AC] = 1 + sqrt (2) => [BC] = sqrt (4 + 2 * sqrt (2))

=> sin (C) = sin (22.5) = 1 / sqrt (4 + 2 * sqrt (2)).

=> cos (B) = sin (67.5) = (1 + sqrt (2)) / sqrt (4 + 2 * sqrt (2))

=> sin (22.5) + sin (67.5) = 2 + sqrt (2) / sqrt (4 + 2 * sqrt (2))

=> = ((2 + sqrt (2)) * sqrt (4–2 * sqrt (2))) / sqrt (8)

=> = ((sqrt (2) +1) * sqrt (4–2 * sqrt (2))) / 2

=> = (sqrt (2) +1) * sqrt (1-sqrt (2) / 2)

Answer 3

[matemática] \ text {Sea la ecuación dada $ x $,} [/ matemática]

[matemáticas] \ implica x = \ cos 22.5 ^ o + \ sin 22.5 ^ o [/ matemáticas]

[matemáticas] \ text {Cuadrando ambos lados y aplicando las identidades ..} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x ^ 2 = 1 + \ sin 2 (22.5 ^ o) \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ ,\,[/matemáticas]

[matemáticas] \ implica x ^ 2 = 1 + \ sen 45 ^ o [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x ^ 2 = 1 + \ dfrac {\ sqrt {2}} {2} [/ matemáticas]

[math] \ implica \ boxed {x = \ sqrt {\ dfrac {2+ \ sqrt {2}} {2}}} [/ math]

Answer 4

Usando el método Reescrito Preciso (ver Rompiendo Reglas Clásicas en Trigonometría: Valores Trigonométricos Exactos por Bhava Nath Dahal en el método Reescrito Preciso para el proceso) o Método Reescrito en Ángulo en Cos 22.5 = Sin 67.5 y Sin 22.5.

Paso 1: reescribe el ángulo agregando la mitad o restando la mitad de Central (es decir, 45)

22.5 = 45–22.5 y 67.5 = 45 + 22.5

Paso 2: Reemplace cada Central por [math] \ sqrt {(2} [/ math]

Sin 22.5 = [matemáticas] \ frac {1} {2} [/ matemáticas] [matemáticas] \ sqrt {(2 – \ sqrt {2})} [/ matemáticas]

Cos 22.5 = Sin 67.5 = [matemáticas] \ frac {1} {2} \ sqrt {(2 + \ sqrt {2})} [/ matemáticas]

Por lo tanto, Cos 22.5+ Sin 22.5 = [matemáticas] \ frac {1} {2} [/ matemáticas] [matemáticas] \ sqrt {(2 – \ sqrt {2})} + \ frac {1} {2} \ sqrt {(2 + \ sqrt {2})} [/ math]

= [matemáticas] \ frac {1} {2} (\ sqrt {2 – \ sqrt {2}} + \ sqrt {2 + \ sqrt {2}}) [/ matemáticas]

Answer 5

Esta es la solución de tu pregunta:

Answer 6

Como es positivo, puede elevarlo al cuadrado y obtener x ^ 2 = (sin22.5 + cos22.5) ^ 2 = (sin22.5) ^ 2 + (cos22.5) ^ 2 + 2 * sin22.5 * cos22. 5 = 1 + sin (2 * 22.5) = 1 + sin45 = 1 + sqrt (2) / 2, entonces x = sqrt (1 + sqrt (2) / 2)