Si está buscando una cuenta histórica de cómo se estableció la definición de pecado y cos, me remito al artículo de Wikipedia para Historia de la trigonometría.
Pero su ejemplo no es histórico; en cambio, es una derivación matemática moderna. Los comentarios ya señalaron que la derivación de una fórmula que vincula conceptos conocidos es muy diferente de descubrir una definición matemática útil. Las funciones trigonométricas se pueden construir (definir) de varias maneras:
- Como las funciones de coordenadas de los puntos en el círculo unitario. Esto muestra inmediatamente la identidad fundamental [matemáticas] sin ^ 2 + cos ^ 2 = 1 [/ matemáticas]
- Como el cociente de los lados de un triángulo. Esto está fuertemente vinculado a la definición del círculo unitario.
- (Esta es la definición habitual en los libros de texto posteriores a la escuela secundaria) Como una serie de Power: [matemáticas] \ sin {x} = \ sum \ limits ^ \ infty_ {n = 0} {\ frac {(- 1) ^ nx ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!}} [/ Math]
- Como las partes reales e imaginarias de la función exponencial imaginaria (esto es inmediatamente obvio de la definición de la serie de potencias).
- (mi favorito por su simplicidad y transparencia) Como la solución de la ecuación diferencial [matemática] f ” + f = 0 [/ matemática], con condiciones iniciales [matemática] f (0) = 1; f ‘(0) = 0 [/ matemáticas] o resp. [matemáticas] f (0) = 0; f ‘(1) = 1 [/ matemáticas].
De manera equivalente a las soluciones para el sistema diferencial [matemática] f ‘= – g [/ matemática] y [matemática] g’ = f [/ matemática], con [matemática] f (0) = 1 [/ matemática] y [matemática ] g (0) = 0 [/ matemáticas]