Para demostrar el fenómeno de las conexiones ocultas o no tan obvias en matemáticas, reflexione: ¿cuál es la similitud entre una forma de resolver este problema y una manera de calcular la siguiente integral:
[matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ {\ pi} x \ ln (\ sin (x)) \ tag {1} [/ matemáticas]
¿analíticamente?
¿ Hay incluso una conexión?
… sí : se demuestra en esta respuesta de Quora y utiliza una identidad:
[matemáticas] \ displaystyle \ sin (nx) = 2 ^ {n-1} \ prod_ {k = 0} ^ {n-1} \ sin \ Big (x + \ dfrac {\ pi k} {n} \ Big ) \ tag {2} [/ math]
probado a través de números complejos por Alexander Farrugia (enlace que se insertará aquí) y por inducción en [matemáticas] n [/ matemáticas] en esta respuesta de Quora.
Ponga [matemáticas] n = 7 [/ matemáticas] en ( 2 ):
[matemáticas] \ displaystyle \ sin (7x) = 2 ^ 6 \ prod_ {k = 0} ^ 6 \ sin \ Big (x + \ dfrac {\ pi k} {7} \ Big) \ tag {3} [/ matemáticas]
Factoriza [math] \ sin x [/ math] a partir del RHS de ( 3 ), tira la variable ficticia de [math] 1 [/ math], divide ambos lados de ( 3 ) por [math] \ sin x [/ matemáticas]:
[matemáticas] \ displaystyle \ dfrac {\ sin (7x)} {\ sin x} = 2 ^ 6 \ prod_ {k = 1} ^ 6 \ sin \ Big (x + \ dfrac {\ pi k} {7} \ Grande) \ tag {4} [/ math]
Tome los límites de ambos lados de ( 4 ) como [matemáticas] x \ a 0 [/ matemáticas]. En el lado izquierdo de ( 4 ) tenemos:
[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0} \ dfrac {\ sin (7x)} {\ sin x} = \ lim_ {x \ a 0} \ dfrac {\ dfrac {7 \ sin (7x)} { 7x}} {\ dfrac {\ sin x} {x}} \ tag * {} [/ math]
Aplicar el teorema de la razón de límites: un límite de una razón es la razón de los límites, siempre que los límites existan. Ellas hacen:
[matemáticas] \ displaystyle \ dfrac {\ lim_ {x \ a 0} \ dfrac {7 \ sin (7x)} {7x}} {\ lim_ {x \ a 0} \ dfrac {\ sin x} {x}} = \ dfrac {7} {1} = 7 \ tag {5} [/ math]
En el lado derecho de ( 4 ) tenemos (editar: vea el comentario de Keith Anker a continuación) una composición, o más bien un producto de número finito, de funciones continuas, una función continua. Por lo tanto, el límite correspondiente es igual a la magnitud de esa función evaluada en [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas]:
[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0} 2 ^ 6 \ prod_ {k = 1} ^ 6 \ sin \ Big (x + \ dfrac {\ pi k} {7} \ Big) = 2 ^ 6 \ sin \ dfrac {\ pi} {7} \ cdot \ sin \ dfrac {2 \ pi} {7} \ cdot \ sin \ dfrac {3 \ pi} {7} \ times \ tag * {} [/ math]
[matemáticas] \ sin \ dfrac {4 \ pi} {7} \ cdot \ sin \ dfrac {5 \ pi} {7} \ cdot \ sin \ dfrac {6 \ pi} {7} \ tag {6} [/ matemáticas]
La siguiente identidad:
[matemáticas] \ sin x = \ sin (\ pi – x) \ tag * {} [/ matemáticas]
tomará los últimos tres factores en ( 6 ) en sus imágenes simétricas:
[matemáticas] \ sin \ dfrac {4 \ pi} {7} \ to \ sin \ dfrac {3 \ pi} {7} \ tag {7} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sin \ dfrac {5 \ pi} {7} \ a \ sin \ dfrac {2 \ pi} {7} \ tag {8} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sin \ dfrac {6 \ pi} {7} \ a \ sin \ dfrac {1 \ pi} {7} \ tag {9} [/ matemáticas]
Por lo tanto, designando el producto solicitado como [matemática] P [/ matemática], con (5, 6, 7, 8, 9) tenemos:
[matemáticas] 7 = 2 ^ 6 P ^ 2 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]
[matemáticas] P = \ dfrac {\ sqrt {7}} {2 ^ 3} = \ dfrac {\ sqrt {7}} {8} \ tag * {} [/ matemáticas]
¿Dónde y cómo nacen los problemas matemáticos?
En las mentes más grandes que la mía, pero una cosa es segura: un intento de crear un problema es una buena manera de probar la profundidad de nuestra comprensión del material en cuestión. Inténtalo tú mismo.
El orden inverso es un enfoque viable para resolver varios problemas (como se demuestra en esta publicación de Quora, por ejemplo), pero podemos invertir su dirección tradicional (oh, my, invertir la inversión) y usarlo para crear un problema en su lugar.
Veamos cómo puede funcionar.
En ( 2 ) ponga [matemáticas] n = 180 [/ matemáticas]. ¿Por qué [matemáticas] 180 [/ matemáticas]? Porque en la expresión del caballo de batalla para los senos:
[matemáticas] \ dfrac {\ pi} {180} \ cdot k \ tag {10} [/ matemáticas]
el factor frente a [math] k [/ math] se convierte en una fábrica en miniatura para convertir radianes en grados:
[matemáticas] \ displaystyle \ sin (180x) = 2 ^ {179} \ prod_ {k = 0} ^ {179} \ sin \ left (x + \ dfrac {\ pi} {180} k \ right) \ tag { 11} [/ matemáticas]
Si pasamos por los giros habituales de factorizar [math] \ sin x [/ math] y tomar los límites como [math] x \ a 0 [/ math], entonces, dado que todavía tenemos radianes:
[matemáticas] \ displaystyle 180 = 2 ^ {179} \ prod_ {k = 1} ^ {179} \ sin \ dfrac {\ pi} {180} k \ tag {12} [/ matemáticas]
Ahora, sin embargo, podemos expresar [matemáticas] k [/ matemáticas] en grados que efectivamente perderán la firma característica de ( 2 ):
[matemáticas] \ displaystyle 180 = 2 ^ {179} \ prod_ {k = 1} ^ {179} \ sin k ^ {\ circ} \ tag {13} [/ matemáticas]
Para ofuscar los asuntos, distribuya los números [matemática] 179 [/ matemática] [matemática] 2 [/ matemática] entre los senos de manera uniforme (emparejándolos):
[matemáticas] 180 = 2 \ sin 1 ^ {\ circ} \ cdot 2 \ sin 2 ^ {\ circ} \ cdot 2 \ sin 3 ^ {\ circ} \ cdot \ ldots \ cdot 2 \ sin 179 ^ {\ circ } \ tag {14} [/ math]
Perder el [matemáticas] 180 [/ matemáticas]:
[matemáticas] 2 \ sin 1 ^ {\ circ} \ cdot 2 \ sin 2 ^ {\ circ} \ cdot 2 \ sin 3 ^ {\ circ} \ cdot \ ldots \ cdot 2 \ sin 179 ^ {\ circ} \ etiqueta {11} [/ matemáticas]
Si te sientes especialmente aventurero, toma un logaritmo en una base “ridícula”:
[matemáticas] \ log_ {180} \ left (2 \ sin 1 ^ {\ circ} \ cdot 2 \ sin 2 ^ {\ circ} \ cdot \ ldots \ cdot 2 \ sin 179 ^ {\ circ} \ right) \ etiqueta {15} [/ matemáticas]
y formular el problema:
Calcular la magnitud de ( 12 ) (o ( 11 )) a mano
Las respuestas son, por supuesto, [matemáticas] 1 [/ matemáticas] para ( 12 ) y [matemáticas] 180 [/ matemáticas] para ( 11 ) y sabemos cómo obtenerlas: invertir la inversión (de la inversión).
Otras versiones del problema pueden incluir [matemáticas] n = 90 [/ matemáticas] o [matemáticas] n = 360 [/ matemáticas].