¿Puede existir una declaración condicional verdadera con un contrapositivo falso?

Answer 1

En la lógica proposicional, [math] P \ rightarrow Q [/ math] es equivalente a [math] \ neg Q \ rightarrow \ neg P [/ math]. ¿Por qué son estos dos equivalentes? Una forma de ver esto es a través de tablas de verdad. La lógica es un sistema formal que está dado por un conjunto de axiomas y reglas. La forma en que interpretamos la lógica es a través de valoraciones de la verdad. La solidez y la integridad dan una buena correspondencia entre la lógica y estas interpretaciones en la metalogía. La solidez establece que todo lo que es un teorema en la lógica es una tautología. La integridad indica que todo lo que es una tautología es un teorema en la lógica. (No todos los sistemas formales son sólidos y completos. Algunos sistemas son sólidos y no completos, algunos son completos pero no son sólidos, y otros no son sólidos ni completos. La lógica proposicional es sólida y completa, y esto es demostrable). Una declaración es una tautología si cada valoración es verdadera. (Por ejemplo, [math] P \ lor \ neg P [/ math] es una tautología porque siempre es cierto, independientemente de la asignación de verdad de [math] P [/ math].) Por lo tanto, por solidez e integridad, sepa que si [matemática] (P \ rightarrow Q) \ Leftrightarrow (\ neg Q \ rightarrow \ neg P) [/ math] es una tautología, entonces es un teorema en la lógica. Pero es fácil verificar que [math] P \ rightarrow Q [/ math] es verdadero en cada instancia [math] \ neg Q \ rightarrow \ neg P [/ math] es verdadero y falso en cada instancia [math] \ neg Q \ rightarrow \ neg P [/ math] es falso. (Por ‘verdadero’ y ‘falso’ aquí, quiero decir asignaciones de verdad dadas a [matemática] P [/ matemática] y [matemática] Q [/ matemática], podemos evaluar el condicional como algún valor de verdad.) Dado que las dos declaraciones son verdaderas en las mismas valoraciones y falsas en las mismas valoraciones, el bicondicional es verdadero. Por lo tanto, las dos declaraciones son equivalentes y, a fortiori , no podemos tener un verdadero condicional sino un falso contrapositivo.

Answer 2

No, cualquier declaración siempre es lógicamente equivalente a su contrapositivo. Esta es una ‘ley’ de la lógica.

Debería ser bastante claro con solo pensarlo intuitivamente.

Para P => Q, el contrapositivo es -Q => -P. Solo piénsalo un poco. Si P entonces Q. Entonces, si no Q, entonces es obvio que no P, porque si P, entonces Q.

Si desea una prueba formal (sin usar la contraposición en sí, por supuesto, ya que eso es lo que quiero probar), aquí va:

(1) P => Q (Prem.)
(2) -Q (Prem.)
(3) | P (Hyp.)
(4) | -Q (Reit. (2))
(5) P => -Q (=> I, (3-4))
(6) -P (-I, (1), (5))

Ver Contraposición para más información.

Answer 3

La existencia de esta declaración está predeterminada ya que su negación aún no se ha intentado expresar.