Escriba [math] \ frac12 + \ ldots + \ frac1 {2n} [/ math] como [math] \ frac12 (\ gamma + \ ln n + \ epsilon_n) [/ math] donde [math] \ epsilon_n \ to0 [/ math] del definición de [math] \ gamma [/ math].
Recordemos también la aproximación de Stirling [matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {n!} {\ Sqrt {2 \ pi n} \ left (\ frac ne \ right) ^ n} = 1 [/ math]
Ahora tenga en cuenta que el producto parcial [matemática] \ prod_ {k = 1} ^ {n} \ izquierda (1+ \ frac1k \ derecha) ^ k [/ matemática] es telescópica y equivale a [matemática] \ frac {(n + 1) ^ n} {n!} [/ Math]. Denote con [math] a_n [/ math] el producto parcial en su enunciado del problema [math] a_n: = \ prod_ {k = 1} ^ n \ left (1+ \ frac1k \ right) ^ ke ^ {\ frac1 {2k } -1} [/ matemáticas]. En los límites a continuación, todos los límites se consideran [math] n \ to \ infty [/ math] (se eliminan de las ecuaciones para eliminar el desorden):
Entonces [matemáticas] \ lim a_n = \ lim \ frac {(n + 1) ^ n} {n!} \ Cdot \ frac {e ^ {\ sum_ {k = 1} ^ n \ frac1 {2k}}} { e ^ n} [/ math] [math] = \ lim \ frac {(n + 1) ^ n \ exp (\ frac12 \ gamma + \ frac12 \ ln n + \ frac12 \ epsilon_n)} {n! \ cdot e ^ n } [/ math] [math] = \ lim \ dfrac {(n + 1) ^ ne ^ {\ gamma / 2} \ cdot \ sqrt n \ cdot e ^ {\ frac12 \ epsilon_n}} {n! \ cdot e ^ n} [/ matemáticas].
- Si [math] p [/ math] es un número primo mayor que [math] 3 [/ math], ¿cómo demuestra que [math] p ^ 2 -1 [/ math] es divisible por [math] 24 [/ matemáticas]?
- ¿Cómo podemos demostrar que cada número se puede escribir como una suma de diferentes potencias (negativas o positivas) de tres?
- ¿Cuál es la prueba de la afirmación, ‘Un programa escrito en cálculo lambda mecanografiado siempre termina’?
- Geometría: ¿Cuál es la prueba de que todos los ángulos en un triángulo suman 180 grados?
- ¿La correspondencia de Curry-Howard se aplica a modelos de cómputo que no se parecen al cálculo Lambda simplemente escrito? Si es así, ¿qué tipo de lógica corresponde a las máquinas de Turing y el cálculo Lambda sin tipo?
Dividir entre [matemáticas] n ^ n [/ matemáticas], y obtener [matemáticas] \ lim a_n = \ lim \ frac {\ left (1+ \ frac1n \ right) ^ n \ cdot e ^ {\ gamma / 2} \ cdot e ^ {\ frac12 \ epsilon_n}} {n! \ cdot \ left (\ frac en \ right) ^ n \ cdot \ frac1 {\ sqrt n}} [/ math]. El numerador, como [matemática] n [/ matemática] va al infinito, converge a [matemática] e ^ {1+ \ gamma / 2} [/ matemática] (por definición de [matemática] e [/ matemática] y porque [ math] \ epsilon_n \ to0 [/ math], mientras que el denominador converge a [math] \ sqrt {2 \ pi} [/ math] de la aproximación de Stirling. Por lo tanto, [math] \ lim a_n = \ frac {e ^ {1+ \ frac {\ gamma} 2}} {\ sqrt {2 \ pi}} [/ math]