Esta es una buena pregunta Aunque sé muy poco acerca de la mecánica cuántica, trataré de responder esto por el poco conocimiento que tengo.
Así que procedamos.
Daré a continuación una derivación elemental del principio de incertidumbre de Heisenberg.
Deje que haya [math] n [/ math] número de ondas de longitud de onda media [math] \ lambda [/ math] en una longitud dada [math] \ Delta x [/ math]
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- Deje x, y en números reales. Defina x ~ y iff xy es un número entero. ¿Cómo demuestras que ~ es una relación de equivalencia?
[matemáticas] \ por lo tanto \ Delta x = n \ lambda \ tag {1} [/ matemáticas]
De otra longitud de onda, [matemática] \ lambda + \ Delta \ lambda [/ matemática], obtendremos,
[matemáticas] \ Delta x = \ left (n- \ Delta n \ right) \ left (\ lambda + \ Delta \ lambda \ right) \ tag {2} [/ math]
De (1) y (2) obtenemos,
[matemáticas] \ left (n- \ Delta n \ right) \ left (\ lambda + \ Delta \ lambda \ right) = n \ lambda [/ math]
[matemática] \ Rightarrow n \ lambda + n \ Delta \ lambda- \ lambda \ Delta n- \ Delta \ lambda \ Delta n = n \ lambda [/ math]
Descuidando el término pequeño, [matemática] [/ matemática] [matemática] \ Delta \ lambda \ Delta n [/ matemática] obtenemos,
[matemáticas] \ frac {\ Delta \ lambda} {\ lambda} = \ frac {\ Delta n} {n} [/ matemáticas]
Si tomamos la incertidumbre en el número de ondas localizadas en [matemáticas] \ Delta x [/ matemáticas] como [matemáticas] \ Delta n = 1 [/ matemáticas], obtenemos
[matemáticas] \ frac {\ Delta \ lambda} {\ lambda} = \ frac {1} {n} [/ matemáticas]
Ahora de la relación de Broglie tenemos,
[matemáticas] p = \ frac {h} {\ lambda} [/ matemáticas]
[matemática] \ Rightarrow \ Delta p = \ frac {h} {\ lambda ^ {2}} \ Delta \ lambda [/ math]
Entonces, [matemáticas] \ frac {\ Delta p} {p} = \ frac {h} {\ lambda ^ {2}} \ frac {\ Delta \ lambda} {h} \ lambda = \ frac {\ Delta \ lambda } {\ lambda} = \ frac {1} {n} [/ math]
[matemáticas] \ por lo tanto \ Delta p = \ frac {p} {n} [/ matemáticas]
Entonces, usando la relación (1) y el resultado anterior obtenemos,
[matemáticas] \ Delta x \ cdot \ Delta p = n \ lambda \ cdot \ frac {p} {n} = \ lambda p = h [/ matemáticas]
De hecho, [matemática] \ Delta n [/ matemática] puede ser mayor que 1, el valor que asumimos.
En ese caso,
[matemática] \ grande \ en caja {\ Delta x \ cdot \ Delta p \ geq h} [/ matemática]
Esta es la prueba más fácil y elemental del principio de incertidumbre de Heisenberg que yo conocía.
En caso de que conozca otros métodos, hágamelo saber en los comentarios.