¿Alguien puede dar una prueba o explicación de [matemáticas] \ frac12 + \ left (\ frac12 \ right) ^ 2 + \ left (\ frac12 \ right) ^ 3 + \ left (\ frac12 \ right) ^ 4 = \ frac12 \ frac {1 – \ left (\ frac12 \ right) ^ 4} {1 – \ frac12} [/ math]?

Answer 1

Grandes respuestas hasta ahora, solo voy a entrar en un pequeño detalle adicional.

Series geométricas

Una secuencia geométrica comienza con un número (lo llamaremos “a”) y luego se encuentra cualquier otro término de la secuencia multiplicando el término anterior por alguna relación “r”.

Entonces cada secuencia geométrica se ve así:

[matemáticas] (a, ar, ar ^ 2, ar ^ 3,…, ar ^ {n-1}) [/ matemáticas]

Para encontrar la suma de los primeros n términos, utilice los métodos mencionados por Hongwan Liu.

[matemáticas] S_n = a + ar + ar ^ 2 +… ar ^ {n-1} [/ matemáticas]
[matemáticas] rS_n = ar + ar ^ 2 + ar ^ 3 +… ar ^ {n} [/ matemáticas]

Podemos manipular la ecuación inferior para obtener:

[matemática] rS_n – ar ^ n + a = a + ar + ar ^ 2 [/ matemática] [matemática] + ar ^ 3 +… ar ^ {n-1} = S_n [/ matemática]
[matemáticas] rS_n – ar ^ n + a = S_n [/ matemáticas]

Resolviendo para [math] S_n [/ math] produce:

[matemáticas] S_n = a \ frac {1-r ^ n} {1-r} [/ matemáticas]

Esto es ligeramente diferente de la fórmula que le dieron, pero esta es más útil, porque a veces su término inicial “a” y su relación “r” son diferentes.

Serie Geométrica Infinita

No preguntaste sobre esto, pero parece demasiado genial para no compartirlo. ¿Qué pasa si lanzas una cantidad infinita de monedas? Seguramente si lanzas un número infinito de monedas, deberías obtener una, ¿verdad?

¿Qué dice nuestra fórmula?

[matemáticas] S_n = .5 \ frac {1-.5 ^ {\ infty}} {1-.5} [/ matemáticas]

Si -1 <a <1, entonces [math] a ^ {\ infty} = 0 [/ math]

entonces [matemáticas] S_n = .5 \ frac {1} {1-.5} = 1 [/ matemáticas]

Es seguro que obtendrá una cruz si lanza la moneda un número infinito de veces.

Answer 2

Es la suma de una serie geométrica. Dejar

[matemáticas] S_ {n} = a + a ^ {2} + a ^ {3} + \ cdots + a ^ {n} [/ matemáticas]

Entonces

[matemáticas] aS_ {n} = a ^ {2} + a ^ {3} + \ cdots + a ^ {n + 1} [/ matemáticas]

De donde obtenemos

[matemáticas] (a-1) S_ {n} = a ^ {n + 1} -a [/ matemáticas]
[matemáticas] S_ {n} = \ sum_ {k = 1} ^ {n} a ^ {k} = a \ frac {1 – a ^ {n}} {1 – a} [/ matemáticas]

Answer 3

Otra forma de ver esto es factorizando el polinomio [matemático] 1-x ^ n [/ matemático].

Claramente [math] x = 1 [/ math] es una raíz; entonces [matemáticas] 1-x ^ n = (1-x) p (x ^ {n-1}) [/ matemáticas], donde [matemáticas] p (x ^ {n-1}) [/ matemáticas] es un polinomio de grado [matemática] n-1 [/ matemática]. Una pequeña división sintética le dirá que [matemáticas] p (x ^ {n-1}) = 1 + x + x ^ 2 +… + x ^ {n-1} [/ matemáticas]. En este contexto, esto significa:

[matemáticas] 1-a ^ p = (1-a) (1 + a + a ^ 2 +… + a ^ {p-1}) \ \ \ \ (1) [/ matemáticas].

Volviendo al problema, si tenemos

[matemáticas] a + a ^ 2 + a ^ 3 +… + a ^ n [/ matemáticas]

podemos sacar un [math] a [/ math] y multiplicar por [math] \ frac {1-a} {1-a} [/ math]

[matemáticas] = a (1 + a + a ^ 2 +… + a ^ {n-1}) [/ matemáticas]
[matemáticas] = a \ frac {(1-a) (1 + a + a ^ 2 +… + a ^ {n-1})} {1-a} [/ matemáticas]

Sustituyendo (1) para obtener

[matemáticas] = a \ frac {1-a ^ p} {1-a} [/ matemáticas]

Answer 4

Este resultado es un caso especial de un resultado llamado “Suma de los primeros términos ‘n’ de una progresión geométrica”.

Lea sobre esto aquí. Progresión geométrica.

Vea la derivación aquí. Derivación de progresión geométrica.

Para su resultado, simplemente ponga ‘r’ (es decir, la razón común) = a, en el resultado del enlace anterior.

Answer 5

Para recordarle, la expresión que usted (u otros en las respuestas) mencionó, es válida cuando -1

De lo contrario, S (n) = a * (r ^ n – 1) / (r – 1)

donde, r = razón común, a = 1er número, n = total no. de elementos en la serie GP.