Si [math] p [/ math] es un número primo mayor que [math] 3 [/ math], ¿cómo demuestra que [math] p ^ 2 -1 [/ math] es divisible por [math] 24 [/ matemáticas]?

Answer 1

Creo que te refieres a [matemáticas] p ^ 2 -1 [/ matemáticas], y la prueba no es demasiado difícil. Comenzamos factorizando la expresión en [matemáticas] (p + 1) (p-1) [/ matemáticas]. De los tres números [matemática] p-1, p, p + 1 [/ matemática], uno de ellos debe ser un múltiplo de 3, ya que cada tres números consecutivos contienen un múltiplo de 3. No puede ser [matemática] p [/ math], porque es primo, entonces es [math] p-1 [/ math] o [math] p + 1 [/ math]. De cualquier manera, [matemáticas] (p + 1) (p-1) [/ matemáticas] será un múltiplo de 3.

Observe también que [math] p-1 [/ math] y [math] p + 1 [/ math] deben ser pares, ya que [math] p [/ math] es un primo mayor que 3 y, por lo tanto, impar. Además, uno de ellos debe ser un múltiplo de 4, ya que para dos números pares consecutivos uno será un múltiplo de 4. Eso significa [matemática] p + 1 [/ matemática] y [matemática] p-1 [/ matemática] multiplicar juntos a un múltiplo de 8.

Ponga estas dos piezas juntas y tenemos que [matemáticas] p ^ 2-1 [/ matemáticas] es un múltiplo de 8 y un múltiplo de 3, también conocido como un múltiplo de 24.

Ahora, ¿puedes demostrar que para [matemáticas] p \ ge 7 [/ matemáticas] que [matemáticas] p ^ 4-1 [/ matemáticas] es un múltiplo de 240?

Answer 2

Todos los números primos tienen la forma [matemática] 6n \ pm 1 [/ matemática] (lo inverso no es cierto obviamente).
entonces
[matemáticas] p ^ 2-1 = (6n \ pm 1) ^ 2 -1 = 36n ^ 2 + 1 \ pm 12n-1 [/ matemáticas]
[matemáticas] = 36n ^ 2 \ pm 12n = 12n (3n \ pm 1) [/ matemáticas]
si n es par 12n es múltiplo de 24
sino [math] 3n \ pm1 [/ math] es un múltiplo de 24

Answer 3

Si p> 3, entonces p ^ 2 = 1 mod 3 y p ^ 2 = 1 mod 8.

Por el teorema chino del resto se sigue trivialmente que,
p ^ 2 = 1 mod (3 * 8) = 1 mod24

Por lo tanto, 24 | p ^ 2-1 para todos los p> 3

Answer 4

sabemos que p ^ 2 – 1 = (p-1) (p + 1) está bien, ya que p es impar, por lo tanto (p-1) y (p + 1) son 2 números pares consecutivos y eso significa que uno de ellos es divisible por 4 (cada 2 pares consecutivos tienen uno que es divisible por 4) entonces tenemos 2 * 4 = 8 ahora perdemos el 3, lo necesitamos para completar el 24,

aquí está, ya que p es primo> 3, entonces no es divisible por 3, y sabemos que cada 3 números consecutivos tienen uno que es divisible por 3, y dado que no es p, entonces es (p-1) o (p + 1)

Answer 5

Divida ‘p ^ 2–1’ en ‘(p + 1) (p-1)’ y sustituya el número primo. Según la lógica, ‘p + 1’ debería ser par. Eso deja ‘p-1’ para ser incluso también. Esto significa que ‘p ^ 2–1’ es divisible por 4. Cada primera ‘p’ es divisible por 6, cuando se le agrega 1. Cada segundo ‘p’ es divisible por 6, cuando se quita 1.

En caso de que se pregunte que el algoritmo sería simplemente divisible por 12 y algunos otros factores, pero no 24, la oración ’13-1 ‘significaría que’ p ‘es la suma de 13, suponiendo que’ p ‘sea positivo. Además, otras posibilidades que no sean 24 múltiples dejarían ‘p’ como irracional.

Answer 6

Esto nunca es verdad. Cualquier número divisible por 24 debe ser divisible por 2. 2p – 1 es un número impar y no divisible por 2.

En caso de que se edite la pregunta, la pregunta original era mostrar que si p es un primo mayor que 3, 2p – 1 es divisible por 24.