Geometría: ¿Cuál es la prueba de que todos los ángulos en un triángulo suman 180 grados?

Answer 1

Primero entienda que 180 es solo un número. Es una convención. No es más que un número. ¿Qué es 180 grados en sentido normal? Si te das la vuelta y vuelves a la misma dirección, habrías girado 360 grados. Ahora, si acabas de regresar, has completado 180 grados. Es simplemente una división de su rotación completa en 360 partes iguales que usted llama grados.

Ahora, ¿por qué esta lógica de retroceso para el triángulo? Imagina un triángulo. Comienza a caminar desde algún punto. Y volver al punto. Si te has dado cuenta, en realidad has hecho una rotación (360). Solo observe la mano adyacente que está fuera del triángulo. No solo un triángulo, si rodeas cualquier polígono o bucle cerrado, habrías girado 360 grados. Si visualiza que el triángulo es infinitesimalmente pequeño, simplemente hará una rotación en el mismo punto para rodear el triángulo.

Ahora di que tienes el triángulo ABC. A es el vértice superior, B es el vértice izquierdo y C es el derecho. Si camina en sentido contrario a las agujas del reloj, caminará en el orden ABC. Tienes que dar tres vueltas y cubrir 360 grados. Ahora estás en la línea CA. Usted va hacia arriba y gira en A. Espero que se dé cuenta de que el ángulo interno A + ángulo externo A es 180 según nuestra convención. Cuando rodeas tu triángulo, debes hacer una rotación de ángulo externo de 360.

Cuando da su primer giro en <A, tiene cubierto el ángulo externo 180- <A. Del mismo modo, sus ángulos totalizarán 540 – (<A + <B + <C), que debería ser 360. Por lo tanto, obtiene la suma de los ángulos 180 para el triángulo.

Para el cuadrilátero, tendrá el número como 720 – (<A + <B + <C + <D) = 360. Allí obtendrás 360 suma de ángulos.

Answer 2

Técnicamente, no puedes probar que la suma de los ángulos de un triángulo es de 180 grados. Esto se debe a que este hecho es equivalente al postulado paralelo de la geometría euclidiana. Es decir, construimos las matemáticas de la geometría tomando ciertas cosas como verdaderas; Una de estas cosas es que la suma de los ángulos en un triángulo es 180 grados.

Es perfectamente posible cambiar esto, en cuyo caso surgen diferentes geometrías. Estas se llaman geometrías no euclidianas. Por ejemplo, la suma de los ángulos de un triángulo dibujado en la superficie de una esfera varía según el tamaño del triángulo. La suma siempre es mayor que 180 grados y puede ser de hasta 270 grados.

Answer 3

180 no es el valor clave aquí. 180 es solo un número en una forma de medición (grados). Es [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] en radianes.

Lo importante a tener en cuenta es: la suma de los ángulos en un triángulo termina siendo igual al ángulo marcado por dos brazos que se enfrentan directamente uno frente al otro (en línea recta).

La medida de dicho ángulo resulta ser 180 en los grados unitarios. Si redefinimos el “grado”, podríamos convertirlo en 200, 240, básicamente lo que queramos.

Answer 4

Answer 5

En la geometría euclidiana, al considerar triángulos en el plano, elija dos vértices del triángulo, rotúlelos A y B y dibuje una línea a través de ellos, llámelo L. El postulado paralelo nos permite dibujar una línea a través del vértice restante que es paralela a la línea anterior, L. Llamemos a esta nueva línea, L ‘.

Los lados del triángulo que no se encuentran en L, si los extendimos, se llaman transversales. Es decir, cortan un par de líneas paralelas. Tales transversales nos dan mucha información sobre los ángulos involucrados, pero en este caso, nos preocupamos principalmente por los ángulos alternos internos, que se muestran a continuación. Por ejemplo, si y representa el ángulo en el vértice B, entonces el ángulo correspondiente (ver imagen) formado por L ‘con la línea BC, también es de valor y .

Mediante una aplicación similar de esto con el ángulo en el vértice A, encontramos que la suma de los tres ángulos está “representada” cerca del vértice C. Lo que quiero decir es que hemos “movido” dos de los ángulos del triángulo y los “colocó” cerca del tercer ángulo (ver imagen a continuación).

Por lo tanto, la suma de los ángulos juntos forma el mismo ángulo que el de una línea recta de 180 grados (eso es impreciso pero da la idea).

Sin embargo, tenga en cuenta que el postulado paralelo fue instrumental en esta prueba y si fuera falso, entonces esta prueba no funcionaría. Resulta que el postulado paralelo es independiente de los otros axiomas euclidianos; es decir, tanto él como su negación son consistentes con los otros axiomas. Por lo tanto, esto da lugar a diferentes tipos de geometría en los que la suma de los ángulos de un triángulo puede ser más o menos de 180 grados.

Answer 6

Digamos que tengo 10 chocolates y tengo que ofrecerlos a 3 estudiantes.

(al menos 1 a cada uno). Solo 10 bombones. Nada más ni nada menos.

Entonces, podría hacerlo de muchas maneras.

10 = 4 + 4 + 2 = 1 + 1 + 8 = 5 + 4 + 1 y así sucesivamente.

Ahora, interpretemos este concepto en un triángulo con un modelo simple.

1. Cortar un triángulo en papel. Preferiblemente equilátero (donde todos los lados son iguales).

2. Marque los ángulos como A, B, C correspondientemente en ambos lados del papel.

De este modo, los lados ahora son AB, BC y CA.

Cada lado es una línea recta y un ángulo de una línea recta AB, BC y AC = 180

3. Mantenga el traingle de modo que la base sea BC (en cualquier lado, ya sea el frente o la parte posterior).

Dobla el triángulo en los ángulos A, B y C de modo que los ángulos A, B y C se toquen

La línea recta BC.

Ahora podemos ver que los ángulos A, B y C se ‘sientan’ perfectamente en la línea BC o

La línea recta BC tenía 180 para ofrecer y ahora se divide entre A, B y C.

(Similar a la analogía utilizada anteriormente)

es decir. Ángulo de línea recta BC = Ángulo A + Ángulo B + Ángulo C

es decir, 180 = ángulo A + ángulo B + ángulo C

Por lo tanto demostrado!

¡¡¡Espero eso ayude!!!

Answer 7

Considere una mitad de camello, mitad de llama cuyas dos cabezas se enfrentan en direcciones opuestas, caminando alrededor de su triángulo.

Comienza en el punto A con el camello mirando hacia el punto B, camina hacia B, gira para dejar que la llama mire hacia C, camina hacia C, gira para dejar que el camello mire hacia A, camina hacia A y finalmente gira para dejar que la llama mire hacia B.

Nuestro ungulado instructivo giró a través de los tres ángulos del triángulo y terminó volteándose. Por lo tanto, los ángulos deben sumar 180 grados.

(Si está pensando en 0 y 360 grados como ángulos distintos, entonces técnicamente, solo hemos demostrado que los ángulos suman un número impar de medias vueltas, mientras que es posible que desee saber con mayor precisión que suman exactamente media vuelta Bueno, debes decir, entonces, para nosotros medir cada ángulo entre 0 y 1 media vuelta, de modo que la suma sea entre 0 y 3 media vuelta. Los únicos números impares de media vuelta en este rango sea ​​exactamente 1 media vuelta o 3 medias vueltas completas. Esa segunda posibilidad solo puede surgir si puedes caminar de A a B a C de regreso a A en una sola dirección inquebrantable. Puedes hacerlo si estás jugando Asteroides, pero en contextos más familiares, esto nunca sucederá).

Answer 8

Es por eso que las matemáticas son tan sensibles a la terminología, si no quiere decir quisquilloso (o pedante).

Tal como está ahora, la declaración del problema es imprecisa o lo suficientemente ambigua como para justificar un contraejemplo. Considere un triángulo equilátero [matemático] ABC [/ matemático] (con el cual Euclides abre los “Elementos” ) y sus tres ángulos [matemático] \ alpha, \ beta [/ matemático] y [matemático] \ gamma [/ matemático]:

Claramente, la suma de estos tres ángulos de un triángulo en una superficie plana no es [matemática] 180 ^ {\ circ} [/ matemática]:

[matemáticas] \ alpha + \ beta + \ gamma = 360 ^ {\ circ} \ tag * {} [/ matemáticas]

También es posible construir otras combinaciones de tres ángulos de un triángulo cuyas magnitudes sumen, por ejemplo, [matemáticas] 300 ^ {\ circ} [/ matemáticas] o [matemáticas] 240 ^ {\ circ} [/ matemáticas].

Si estamos dispuestos a aprender de los mejores, considere la Proposición 32 del Libro 1:

en cualquier triángulo, si se produce uno de los lados, entonces el ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos interiores y opuestos, y la suma de los tres ángulos interiores del triángulo es igual a dos ángulos rectos

El énfasis es mío.

Para que todos veamos de nuevo qué es realmente una prueba matemática (o qué implica), pasé un tiempo para responder a su pregunta de por qué .

Porque Euclides construye la prueba anterior en la proposición número 32.

¿Y por qué es correcta esa prueba? Y por qué …

Aquí hay un árbol que enumera todas las proposiciones intermedias en las que se basa P32. Afortunadamente, todos ellos son del Libro 1 cuya designación se omite pero debe insertarse mentalmente en el árbol.

También he omitido las nociones comunes y los postulados (axiomas).

Cómo leer: una prueba de la proposición anterior depende de las pruebas de la (s) proposición (s) siguiente . Todos los nodos inmediatamente debajo de un dado son sus dependencias explícitas. Por ejemplo, P29 depende explícitamente de (listas en la prueba) P13 y P15, etc.

Desplegué todo el árbol de dependencias solo para P13 hacia abajo, cuando lees las dependencias para P29 y P31 y ves lo que parece un nodo terminal, no lo es a menos que lea [matemáticas] 1 [/ matemáticas] y puedes leer fuera del árbol restante consultando la rama P13: por ejemplo, debajo de P29 hay un nodo P13: encuéntrelo en el lado izquierdo del árbol; debajo de P23 hay P8, también en P11, etc.

Por último, la única razón por la que pude encontrar este árbol en unos 5 minutos o menos es por el increíble trabajo realizado por David Joyce (como debería ser evidente a partir de las firmas de los enlaces):

Como no somos perezosos, tomamos un gran trozo de papel, dibujamos sobre él el árbol de dependencia P39 en su totalidad, lo miramos por un momento y dijimos: eh, eso es lo que se necesita para demostrar por qué la suma de los tres ángulos interiores de un triángulo (plano) es igual a [math] 180 ^ {\ circ} [/ math] , el estilo Euclid .

Answer 9

Tome un fósforo y colóquelo en la parte inferior del triángulo aquí, con su cola en el punto B y su cabeza apuntando a lo largo de BC a C. Ahora deslícelo a lo largo de BC a C, gírelo por su cabeza para que la cola apunte a A , y continúe deslizándose y girando hasta que la cerilla vuelva a donde comenzó.

Ahora es de atrás hacia adelante.

El partido ha girado 180 grados, girando a través de todos los ángulos del triángulo.

Answer 10

Hay una manera de probar esto usando límites.

Comienzo en el triángulo ABC arriba en la esquina superior izquierda, un triángulo equilátero.

El siguiente triángulo hacia abajo es lo que sucede cuando tomo los ángulos A y B y los hago más pequeños y, en consecuencia, agrando el ángulo C.

El siguiente triángulo es una continuación del mismo proceso: reduzca las medidas de ángulo de A y B y aumente el ángulo C.

Haz esto de nuevo. Haz esto de nuevo. Haga esto de nuevo hasta …

Los ángulos A y B finalmente se acercarán al valor de 0 °, el ángulo C obviamente se acercará a una línea recta, también conocida como 180 °.

Ahora suma 0, 0 y 180 para llegar a la respuesta de 180 °.

Este proceso puede usarse en cualquier polígono:

Nonagon:

Los ángulos A y B se aproximan a 0 ° obligando a todos los demás ángulos a aproximarse a 180 °.

Si los ángulos A y B ahora son 0, solo quedan 7 nuestros de 9 ángulos de 180 ° en este nonágono.

Entonces 7 ● 180 = 1260 ° para un nonágono.

¿Parecer familiar? ¡Esta es la fórmula para calcular medidas de ángulo interno de polígonos!

(n-2) 180 °

Answer 11

Se dibuja una línea PQ, paralela a BC.

Del teorema alternativo del ángulo interior,
∠PAB = B, ∠QAC = C

En linea recta
∠BAC + ∠PAB + ∠QAC = 180 °
=> A + B + C = 180 °

Por lo tanto, la suma de los ángulos de un triángulo es 180.

Answer 12

Considere el dibujo a continuación. a, byc son las medidas de los ángulos internos del triángulo y a ‘, b ‘ y c ‘son las medidas de un ángulo externo correspondiente, uno en cada vértice.

a y a ‘, b y b ‘ y c y c ‘son todos suplementarios

a + a ‘= 180

b + b ‘= 180

c + c ‘= 180

Y la suma de los ángulos externos de un polígono convexo tomado uno en cada vértice es 360, entonces

a ‘+ b ‘ + c ‘= 360

Ahora piensa en

( a + a ‘) + ( b + b ‘) + ( c + c ‘) = 180 + 180 + 180

a + b + c + ( a ‘+ b ‘ + c ‘) = 540

a + b + c + 360 = 540

a + b + c = 180

que es lo que queríamos mostrar, es decir, que la suma de las medidas de los ángulos interiores es de 180 grados.

Answer 13

Dibuje un triángulo y haga los ángulos [matemática] \ alpha [/ matemática], [matemática] \ beta [/ matemática] y [matemática] \ gamma [/ matemática].

Extender BC:

Dibuje una línea paralela a la línea BC a través de A:

Ahora el ángulo a la derecha de [math] \ beta [/ math] es alternativo e interior a [math] \ gamma [/ math] por lo que es [math] \ gamma [/ math]. El mismo argumento funciona para [math] \ alpha [/ math].

Y dado que la línea [math] l [/ math] es una línea, [math] \ alpha + \ beta + \ gamma = 180 ^ \ circ [/ math].

Answer 14

Bien. Tomemos un triángulo de muestra para probar este punto.

Supongamos que la suma de los ángulos interiores de este triángulo no es 180 grados. Ahora, dibujaremos un segmento de línea PQ, paralelo a la base BC, de modo que los lados AB y AC sean transversales con respecto a PQ y BC.

Angle PAB es igual a Angle ABC, y Angle QAC es igual a Angle ACB. Esto se debe a que son ángulos alternos internos entre sí.

Angle PAB, Angle QAC y Angle BAC se encuentran en la misma línea recta PQ, y su suma es igual a la suma de los ángulos interiores del triángulo.

Ahora, recordemos nuestra suposición de antes. Eso, la suma de los ángulos interiores de un triángulo no es 180 grados.

Como sabemos que la suma de los ángulos en un lado de una línea recta es de 180 grados, podemos decir que nuestra suposición fue falsa.

Por lo tanto, podemos decir que la suma de los ángulos interiores en un triángulo es la misma que en un lado de una línea recta; 180 grados.

Espero que esto haya ayudado!

Imágenes torpemente hechas por mí mismo, en Microsoft Paint.

Answer 15

Como era inútil en las matemáticas en la escuela y algunas de mis actividades favoritas incorporan muchas de ellas, tengo que encontrar maneras de explicarme ciertos principios matemáticos, de lo contrario simplemente no tienen sentido para mí.
Esta es mi explicación de este fenómeno:
Básicamente, todos los triángulos son la mitad de un cuadrilátero que se ha dividido diagonalmente y todos los cuadriláteros son rectángulos distorsionados (“cajas aplastadas” conocidas como paralelogramos).
Un rectángulo tiene cuatro lados que se encuentran en cuatro esquinas, cada esquina formando un ángulo de 90 grados. Suma estos ángulos y llegarás a (4 × 90) 360 grados. Si ejerce presión sobre una de las esquinas en una dirección diagonal, la caja comenzará a distorsionarse y todos los ángulos que forman las esquinas deben sumar 360 grados. Dos de los ángulos se extienden y se vuelven más grandes que los 90 grados originales, mientras que los otros dos se comprimen y se vuelven menos, pero siempre suman 360.
Dividir la caja diagonalmente te deja con media caja y divide a la mitad dos de los ángulos de las esquinas, por lo que los ángulos se convierten en 90 + 45 + 45 = 180. Al distorsionar este triángulo, los ángulos cambian, pero siempre deben ajustarse a los 180 grados originales: pueden convertirse en no más y no menos.

Answer 16

Aquí hay suficientes respuestas buenas y serias, así que es hora de una respuesta humorística …

El teorema del ángulo inscrito nos dice que un ángulo inscrito en un círculo subtiende el mismo arco que un ángulo dos veces mayor en el centro del círculo.

Los ángulos combinados de un triángulo inscrito subtiende todo el círculo exactamente una vez, por lo que su suma debe ser la mitad de 360 ​​grados, por lo tanto, 180 grados.

La razón por la que esta prueba es una broma es que estoy empleando un razonamiento circular (juego de palabras). No porque estoy usando un círculo, sino porque estoy usando el teorema del ángulo inscrito para probar el teorema de la suma del triángulo, pero la prueba del teorema del ángulo inscrito se basa en el teorema de la suma del triángulo.

En otras palabras, estoy haciendo trampa usando el teorema B para probar el teorema A, que presumiblemente se usó para probar el teorema B en primer lugar.

Answer 17

La prueba es bastante directa.

Usando líneas paralelas, muestre ángulos alternos “ a ” y “ c ”.

Los ángulos a, b, c en el semicírculo suman 180 grados.

Por lo tanto a + b + c = 180

Answer 18

Considera el triángulo ABC

Ahora, construya una línea a través de A paralela a BC como se muestra.

Ahora, MN es paralelo es BC

Entonces,

[matemática] \ angle (ABC) = \ angle (MAB)… Ecuación (1) [/ math]

[matemática] \ angle (ACB) = \ angle (CAN)… Ecuación (2) [/ math]

Ambas ecuaciones son ciertas debido a los ángulos alternos internos.

En el triángulo ABC,

Sea ‘S’ la suma de los ángulos del triángulo.

[matemática] S = \ angle (ABC) + \ angle (ACB) + \ angle (BAC) [/ math]

Al sustituir los valores de las ecuaciones (1) y (2), obtenemos

[matemática] S = \ angle (MAB) + \ angle (CAN) + \ angle (BAC) [/ math]

Ahora, esta suma es igual a la suma de ángulos en una línea recta que es 180 grados.

Entonces, la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180 grados.

Espero que esto ayude:)

Gracias por leer.

Answer 19

El principio básico para recordar es: la suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono es siempre 360 ​​° .

Entonces, para un triángulo, deje que los ángulos interiores sean [matemática] x [/ matemática], [matemática] y [/ matemática] y [matemática] z [/ matemática]. Y los ángulos exteriores correspondientes son [matemática] a [/ matemática], [matemática] b [/ matemática] y [matemática] c [/ matemática]. Según el principio anterior:

[matemática] a + b + c = 360 ° = 2 * 180 ° [/ matemática] …… (ecuación 1)

Pero, interior + exterior = 180 °, es decir, ángulos suplementarios, por lo tanto –

[matemáticas] (a + x) = (b + y) = (c + z) = 180 ° [/ matemáticas]

O

[matemáticas] (a + x) + (b + y) + (c + z) = 3 * 180 ° [/ matemáticas]

[matemáticas] (x + y + z) + (a + b + c) = 3 * 180 ° [/ matemáticas]

Sustituir de la ecuación 1 –

[matemáticas] (x + y + z) + 2 * 180 ° = 3 * 180 ° [/ matemáticas]

[matemáticas] (x + y + z) = 3 * 180 ° -2 * 180 ° [/ matemáticas]

[matemáticas] (x + y + z) = (3-2) 180 ° [/ matemáticas] ……… ecuación 2

[matemáticas] x + y + z = 180 ° [/ matemáticas]

>> La suma de los ángulos interiores del triángulo es 180 °

Use el principio anterior e intente derivar el resultado para cualquier polígono de n lados.

Ecuación 1 – [matemáticas] a + b + c +…. = 2 * 180 ° [/ matemáticas]

Ecuación 2 – [matemáticas] x + y + z +…. = (N-2) 180 ° [/ matemáticas]

Ejemplo, para un cuadrilátero [matemáticas] (n = 4) [/ matemáticas]

[matemáticas] x + y + z + w = ​​(4-2) 180 ° [/ matemáticas]

>> La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360 °

En general,

>> La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es (n-2) 180 °

Answer 20

Considere el triángulo ABC de la imagen de arriba

Prueba necesaria

Líneas paralelas PQ y BC.

Un ángulo lateral en cualquier punto de una línea es 180

entonces

Basado en (1) y (2)

Recuerdo, en los primeros días de mis clases de geometría, este es el primer teorema que me cuestioné y resolví “cómo los ángulos se suman hasta 180 en el triángulo” 🙂 nostálgico 😛