Para hacer algo como esto, primero debe tener una definición precisa de lo que significan los términos involucrados. En particular, no podemos comenzar hasta que sepamos por primera vez qué significa [math] e ^ {i \ theta} [/ math].
La definición ingenua habitual de exponenciación como multiplicación repetida no funciona: ¿qué significa multiplicar [matemática] e [/ matemática] por sí misma [matemática] i [/ matemática] veces? ¿Qué significa hacer algo [matemáticas] i [/ matemáticas] veces ?! Además, esta definición ni siquiera funciona bien para exponentes de números reales .
Resulta que la función exponencial no se puede definir sin usar algún tipo de cálculo en el proceso, al menos límites, si no diferenciación.
Una forma de definir la función exponencial es como el punto fijo de la derivada , es decir, la solución del problema del valor inicial
[matemáticas] f ‘= f, \ f (0) = 1 [/ matemáticas].
Esto tiene una solución porque es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden con el lado derecho una función continua acotada de la variable y [math] f [/ math]. Entonces [matemáticas] f (t) = e ^ t [/ matemáticas]. ¿Por qué tiene sentido usar tal definición? Bueno, pensemos qué nos gustaría que tuviera una función exponencial. Lo ideal es que retenga algunas propiedades de exponenciación a potencias de números enteros, como [math] a ^ {n + m} = a ^ na ^ m [/ math]. Deje [math] g (x) = f (x + y) [/ math] para algunos [math] y [/ math]. Entonces vemos fácilmente que [matemáticas] g ‘(x) = g (x) [/ matemáticas]. Por lo tanto, es similar a [matemáticas] f (x) [/ matemáticas], excepto que ahora [matemáticas] g (0) = f (y) [/ matemáticas]. Con esto en la mano, consideramos [matemáticas] h (x) = \ frac {g (x)} {f (x)} = \ frac {f (x + y)} {f (x)} [/ matemáticas] . Al diferenciar [matemática] h (x) [/ matemática] por la regla del cociente se obtiene [matemática] h ‘(x) = \ frac {f (x) f’ (x + y) – f (x + y) f ‘( x)} {f (x) ^ 2} = \ frac {f (x) f (x + y) – f (x + y) f (x)} {f (x) ^ 2} = 0 [/ matemática ] Por lo tanto, [math] h (x) [/ math] es constante y, por lo tanto, está completamente determinado por [math] h (0) [/ math], que vemos es [math] \ frac {g (0)} {f ( 0)} = g (0) = f (y) [/ math] (ya que [math] f (0) = 1 [/ math]), y luego eso muestra que [math] \ frac {f (x + y )} {f (x)} = f (y) [/ math] así que [math] f (x + y) = f (x) f (y) [/ math]. Esto nos dice que la [matemática] f (x) [/ matemática] que define esta ecuación satisface una de las propiedades de una función exponencial, por lo que podría ser una buena definición. De hecho, de esto se deduce que para el entero [matemáticas] n [/ matemáticas], que [matemáticas] f (n) = f (1) f (1) \ cdots f (1) [/ matemáticas] (n veces), y por lo tanto tenemos aún más justificación para considerarlo como exponenciación a una base [math] f (1) [/ math], a la que asignamos la etiqueta [math] e [/ math] y diremos [math] e ^ x \ stackrel {\ mathrm {def}} {=} f (x) [/ math]. Las otras propiedades como [math] (a ^ n) ^ m = a ^ {nm} [/ math] no pueden obtenerse tan fácilmente de esta definición ya que eso implica exponenciación a una base diferente, y de hecho esta propiedad no funciona para números complejos.
Ahora que sabemos de qué estamos hablando, ¿cómo podemos hacer la exponenciación compleja? Primero asumiremos que existe una función compleja [matemática] f [/ matemática] que satisface el problema de valor inicial anterior. Luego mostramos que esta suposición conduce a un candidato para esa función, y luego podemos confirmar que realmente funciona, en particular que es complejamente diferenciable y satisface la ecuación diferencial, y por lo tanto no solo muestra la fórmula en la pregunta, sino también una identidad completa para la función exponencial compleja general.
Suponiendo que tal función exista, deberíamos saber que su comportamiento para entradas reales debería coincidir con el de números reales, lo cual ya se conoce. Pero para las entradas imaginarias , tenemos que hacer un poco más de trabajo. Consideremos [math] g (t) = e ^ {it} [/ math]. Para tener una idea de lo que podría ser, es instructivo utilizar el razonamiento físico . Me gusta esto porque es muy visualizable y está conectado a aplicaciones de la vida real. Puede que esta no sea la forma en que un matemático podría hacerlo, pero mi experiencia también es física, no solo matemática pura. Cualquier número complejo puede interpretarse como un vector euclidiano en el plano y, por lo tanto, podemos considerar que [math] g (t) [/ math] es equivalente a una función vectorial [math] \ vec {r} (t) [/ matemática] que describe la posición de una partícula que se mueve con respecto al tiempo, donde el componente x es la parte real y el componente y la parte imaginaria. Como expresión cinemática, podemos indagar naturalmente sobre la velocidad y la aceleración. Para facilitar las cosas, abusaré de la notación y me referiré al vector [math] \ vec {r} (t) [/ math] y al número complejo [math] g (t) [/ math] como si fueran el mismo. Tenemos [math] \ vec {v} (t) = \ frac {d \ vec {r}} {dt} = \ frac {d} {dt} e ^ {it} = ie ^ {it} [/ math ] aplicando la regla de la cadena. Una segunda aplicación produce [math] \ vec {a} (t) = -e ^ {it} = – \ vec {r} (t) [/ math]. Esta es la aceleración. Detengámonos a analizar eso. Vemos que apunta en la dirección exactamente opuesta al vector de posición, y esto apuntará hacia 0. Además, es [matemática] i [/ matemática] multiplicada por la velocidad [matemática] \ vec {v} (t) [/ matemáticas].
¿Qué podemos concluir de esto? Por el cálculo básico del vector sabemos que el vector de velocidad siempre es tangente a la dirección del movimiento, y también sabemos por geometría compleja que una multiplicación por [matemáticas] i [/ matemáticas] es equivalente a una rotación de 90 grados. Por lo tanto, vemos que los vectores de velocidad y aceleración son ortogonales entre sí, y en particular esto significa que la componente tangencial de la aceleración [matemática] a_T [/ matemática] es 0, por lo que la aceleración es puramente radial. Lo único que queda por hacer es calcular la magnitud de la aceleración radial. Como no hay un componente tangencial, vemos que esta magnitud debería ser solo el módulo complejo [matemáticas] | \ vec {a} (t) | = | g ” (t) | = | -e ^ {it} = | e ^ {it} | [/ math]. ¿Pero cuál es esta magnitud? Bueno, podemos usar la fórmula [matemáticas] | z | = \ sqrt {z \ bar {z}} [/ math], pero ahora necesitamos el complejo conjugado de [math] e ^ {it} [/ math]. Podemos obtener el conjugado por diferenciación real con respecto al parámetro real [math] t [/ math]. En particular, [math] \ frac {d} {dt} e ^ {it} = ie ^ {it} [/ math] pero ahora [math] \ frac {d} {dt} \ bar {e ^ {it} } = \ bar {\ frac {d} {dt} e ^ {it}} = \ bar {ie ^ {it}} = \ bar {i} \ bar {e ^ {it}} = -i \ bar { e ^ {it}} [/ math]. Esto se parece a la diferenciación de [math] e ^ {- it} [/ math] y dado que ambos tienen el mismo valor en [math] t = 0 [/ math], entonces debe [math] \ bar {e ^ {it}} = e ^ {- it} [/ math]. Así [matemáticas] | e ^ {it} | = \ sqrt {e ^ {it} \ bar {e ^ {it}}} = \ sqrt {e ^ {it} e ^ {- it}} = \ sqrt {e ^ {it – it}} = \ sqrt {e ^ 0} = 1 [/ matemáticas]. Entonces la aceleración radial tiene una magnitud constante 1.
Y esto es todo lo que necesitamos para concluir que el movimiento de la partícula es un movimiento circular con velocidad angular uniforme, radio 1 y centro en el origen. Por lo tanto, ahora podemos decir que
[matemáticas] e ^ {it} = \ cos (\ omega t) + i \ sin (\ omega t) [/ matemáticas]
para alguna velocidad angular [math] \ omega [/ math]. Por las ecuaciones físicas, [matemáticas] \ omega = \ sqrt {\ frac {a} {r}} = \ sqrt {\ frac {1} {1}} = 1 [/ matemáticas], y por lo tanto
[matemáticas] e ^ {it} = \ cos (t) + i \ sin (t) [/ matemáticas].
Ahora tenemos un paso final para terminar la derivación, y es mostrar que esto es compatible con nuestras ecuaciones diferenciales originales para números complejos y la definición en el eje de números reales. Para hacer esto, tenga en cuenta que para un número complejo general [matemáticas] z = x + iy [/ matemáticas], deberíamos tener
[matemáticas] e ^ z = e ^ {x + iy} = e ^ x [\ cos (y) + i \ sin (y)] = u (x, y) + iv (x, y) [/ matemáticas]
donde [matemáticas] u (x, y) = e ^ x \ cos (y) [/ matemáticas] y [matemáticas] v (x, y) = e ^ x \ sin (y) [/ matemáticas]. Primero comprobamos que esto es complejo diferenciable. Como productos de funciones suaves, vemos que estos tienen derivados parciales continuos, de hecho, suaves. Por lo tanto, es (Frechet) diferenciable. Para mostrar la diferenciabilidad compleja , debemos verificar las ecuaciones de Cauchy-Riemann, lo que realmente significa que deberíamos ver si la derivada tiene la forma de un número complejo, lo que significa que tomamos el jacobiano
[matemáticas] J [e ^ z] = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial u} {\ partial x} && \ frac {\ partial u} {\ partial y} \\ \ frac {\ partial v} { \ partial x} && \ frac {\ partial v} {\ partial y} \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} e ^ x \ cos (y) && -e ^ x \ sin (y) \\ e ^ x \ sin (y) && e ^ x \ cos (y) \ end {bmatrix} [/ math].
Vemos que esta última matriz tiene la forma de matriz requerida [matemática] \ begin {bmatrix} A && -B \\ B && A \ end {bmatrix} [/ math] de un número complejo [matemática] Z = A + iB [ / math] con [math] A = e ^ x \ cos (y) [/ math] y [math] B = e ^ x \ sin (y) [/ math], que es la derivada. Por lo tanto, es complejo-diferenciable, y su derivada es igual a sí misma, por lo que satisface nuestra ecuación diferencial. Entonces es fácil verificar que [matemática] e ^ z = 1 [/ matemática] cuando [matemática] z = 0 [/ matemática], y hemos probado y generalizado completamente los números exponenciales a complejos. En particular, ahora sabemos con certeza que
[matemáticas] e ^ {it} = \ cos (t) + i \ sin (t) [/ matemáticas]
o para usar [matemáticas] \ theta [/ matemáticas], que [matemáticas] e ^ {i \ theta} = \ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta) [/ matemáticas].
