El teorema de Bayes trata sobre algo llamado probabilidad condicional.
Si lanzas dos monedas, ¿cuál es la probabilidad de que salgan caras? Hay cuatro resultados posibles;
Moneda 1: cabezas, moneda 2: cabezas
Moneda 1: Caras, Moneda 2: Colas
Moneda 1: Colas, Moneda 2: Cabezas
Moneda 1: Colas, Moneda 2: Colas
Solo uno de estos resultados es lo mismo que “ambos vienen a la cabeza”. Por lo tanto, hay una posibilidad entre cuatro de que obtengamos dos cabezas. Esta es una construcción bastante básica de probabilidad simple.
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Donde entra la parte “condicional” es donde comenzamos a agregar información adicional a la mezcla. Entonces, hagamos la pregunta: “¿cuál es la probabilidad de que obtengamos dos caras dado que la moneda 1 salió cara?” Pasando por esto:
Moneda 1: cabezas, moneda 2: cabezas
Moneda 1: Caras, Moneda 2: Colas
Por lo tanto, hay una posibilidad de dos en dos caras dada la condición de que la moneda 1 salga cara.
Ahora, usando notación matemática, representaríamos el primer caso como:
[matemáticas] P (H_1H_2) = \ frac {1} {4} [/ matemáticas]
[matemáticas] P (H_1T_2) = \ frac {1} {4} [/ matemáticas]
[matemáticas] P (T_1H_2) = \ frac {1} {4} [/ matemáticas]
[matemáticas] P (T_1T_2) = \ frac {1} {4} [/ matemáticas]
Y el segundo caso como:
[matemáticas] P (H_1H_2 | H_1) = \ frac {1} {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] P (H_1T_2 | H_1) = \ frac {1} {2} [/ matemáticas]
Así que ahora hablemos específicamente del Teorema de Bayes. La matemática para el teorema de Bayes es la siguiente:
[matemáticas] P (A | B) = \ frac {P (B | A) P (A)} {P (B)} [/ matemáticas]
En palabras: la probabilidad de que ocurra A dado que el evento B ha tenido lugar es igual al producto de la probabilidad de que ocurra el evento A y la probabilidad de que ocurra el evento B dado que el evento A ha tenido lugar, dividido por la probabilidad de evento B que tiene lugar en absoluto.
Bien, eso fue increíblemente seco. Hagamos esto interesante.
Estás hablando con tu amigo. Tu amigo se niega a usar pronombres de género (por ejemplo, él, ella), así que cuando tu amigo comienza a hablar sobre esta nueva persona increíble que han conocido, no sabes si esta nueva persona increíble es hombre o mujer. Por alguna razón, esta es información que realmente quieres saber.
Entonces tu amigo dice que a este nuevo increíble realmente le gusta Sex and the City . Haces algunas suposiciones rápidas sobre el mundo:
1) El mundo es aproximadamente 50% masculino, 50% femenino.
[matemáticas] P (M) = \ frac {1} {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] P (F) = \ frac {1} {2} [/ matemáticas]
2) Al 60% de las mujeres les gusta Sex and the City. En otras palabras, dado que una persona es una mujer, hay una probabilidad de tres en cinco de que a esa persona le guste Sex and the City
[matemáticas] P (S | F) = \ frac {3} {5} [/ matemáticas]
3) Al 10% de los hombres les gusta Sex and the City . En otras palabras, dado que una persona es un hombre, hay una posibilidad entre diez de que a esa persona le guste Sex and the City .
[matemáticas] P (S | M) = \ frac {1} {10} [/ matemáticas]
Esto lleva a la conclusión posterior de que al 35% de las personas en el mundo les gusta Sex and the City: el 10% del 50% de la población más el 60% del otro 50% de la población es igual al 35% de la población total.
Lo que queremos encontrar es [matemáticas] P (F | S) [/ matemáticas] – la probabilidad de que una persona sea mujer dado que a esa persona le gusta el sexo y la ciudad .
[matemáticas] P (F | S) = \ frac {P (S | F) P (F)} {P (S)} [/ matemáticas]
Cambiando los números, encontramos que hay un 85.7% de posibilidades de que esta nueva persona asombrosa sea una mujer.
Entonces, el Teorema de Bayes es una forma de actualizar lo que pensamos sobre el mundo basado en lo que sabemos sobre el mundo. Y lo que encontramos es que el mundo es un poco diferente de lo que podríamos pensar.
Por ejemplo, digamos que tenemos una prueba de drogas. El 99% de las personas que usan el medicamento se mostrarán positivas. El 99% de las personas que no usan el medicamento se mostrarán negativas. Una persona de cada quinientos usa la droga. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar de la población que da positivo por haber consumido el fármaco lo haya consumido realmente?
33,2%
El teorema de Bayes es importante porque las matemáticas muestran que la comprensión intuitiva del mundo es una especie de basura.