¿Por qué necesitamos números complejos?

Answer 1

Existe un “mundo matemático”. No es creado arbitrariamente por los humanos, se da como está, sin mucha posibilidad de cambiar. En él, algunas cosas son posibles y otras no. Por ejemplo, el “teorema de Pitágoras” nos dice algo que es posible, mientras que el “teorema de Último Fermat” bastante similar nos dice lo que es imposible.

Los números complejos son una de esas estructuras que son posibles por un lado, por otro muy especial y no obvio, por lo que su existencia puede ser percibida como una especie de milagro (igual que la existencia del universo, la vida, etc.).

En él, se puede ver el vínculo entre el proceso exponencial de auto-mejora y la rotación. Como señalas, la solución para la ecuación diferencial

[matemáticas] x ‘(t) = x (t) [/ matemáticas]

es la familia de funciones exponenciales [matemáticas] e ^ t [/ matemáticas], que describen un tipo especial de crecimiento desbocado.

mientras que el sistema de ecuaciones bastante similar

[matemáticas] x ‘(t) = -y (t) [/ matemáticas]

[matemáticas] y ‘(t) = x (t) [/ matemáticas]

da origen a funciones que también son exponenciales, pero esta vez describen el proceso que está cerrado en un bucle.

Uno puede ver la solución como simplemente [matemática] x (t) = cos (t) [/ matemática], [matemática] y (t) = sin (t) [/ matemática], pero encontrar el enlace a la función exponencial es Una diferencia cualitativa que permite aplicar todo un “aparato exponencial” poderoso a funciones trigonométricas torpes. O viceversa si es necesario.

El truco está, por supuesto, en la multiplicación de números complejos, que, por propiedad de [math] i [/ math] hace de la multiplicación una operación que incluye la rotación. Esta es una característica muy poco obvia, que literalmente “crea rotación”, incluso cuando no hay espacio para rotar, solo un conjunto algebraico de algunos “números”. Entonces se refleja en toda la física del mundo real (según Platón, el mundo de las formas eternas da forma al físico temporal) de una manera tan profunda que no lo notamos, tan acostumbrados estamos a él.

Cuán no trivial es el hecho de que existan números complejos, se puede ver en que no existe un análogo para 3 dimensiones (es decir, 2 ejes imaginarios), sin importar cuánto se intente. La siguiente estructura algebraica análoga son los cuaterniones (3 ejes imaginarios), con no exactamente las mismas propiedades, luego los octoniones, mucho más pobres, diría, entonces probablemente haya algo en el mundo de Lie, pero … no es realmente tan interesante.

Por lo tanto, los números complejos son simples, elegantes, poderosos y raros.

Answer 2

Los números complejos no tienen un significado físico real. Por eso se llaman números imaginarios. Pero son muy útiles porque hacen que muchas matemáticas sean consistentes y fáciles de manejar.

Creo que las aplicaciones más importantes de los números complejos serían las siguientes (no hay una fuente oficial para esta información, solo lo que siento):

• Procesamiento de señales: la mayor parte de la ingeniería eléctrica depende en gran medida de números complejos. Por lo tanto, todos los electrodomésticos se basan en principios que están muy bien formulados en términos de números complejos.
• Valores propios: los valores propios se producen naturalmente en muchos lugares. La mayoría de los sistemas no tendrán todos los valores propios reales, por lo que para tratar con valores propios, debe trabajar con números complejos.
• Transformada rápida de Fourier: el algoritmo más rápido conocido para multiplicar números utiliza números complejos en su centro. Aunque puede lograr lo mismo utilizando estructuras algebraicas como anillos, pero toda la idea se desarrolló utilizando números complejos.

Answer 3

Históricamente, los números complejos comenzaron a tomarse más en serio inmediatamente después del descubrimiento de la solución de la ecuación cúbica general [matemática] ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d = 0 [/ matemática]. El quid del argumento es este: una ecuación cúbica siempre tiene al menos una solución real . Sin embargo, Cardano (o Tartaglia) se sorprendieron al descubrir que para obtener esta solución real para algunos cúbicos, debe tener sentido las raíces cuadradas de los números negativos .

Entonces se enfrentaron a un dilema: dices que las raíces cuadradas de los números negativos no existen y luego pierdes estas soluciones reales legítimas para los cúbicos, o bien introduces una teoría para las raíces cuadradas de los números negativos para que podamos mantener estas legítimas soluciones reales El sentido común prevaleció, por lo que hoy tenemos lo que llamamos números complejos.

Entonces ahora sabe exactamente por qué necesitamos números complejos.

Answer 4

Mi respuesta va a ser muy compleja. Supongo que mucha gente aquí toma los números complejos simplemente como una herramienta, o como un mal necesario para completar un conjunto sobre la operación de exponenciación. Todos ellos tienen razón. Debe comprender la identidad de Euler con más cuidado sobre lo que significa.

Un par de números juntos significan tal cantidad que describe las cosas. Cuando ampliamos nuestros conceptos más allá de simples espacios vectoriales a espacios tensoriales, su uso se vuelve obvio y extremadamente importante, ya que proporcionan un nuevo nivel de medición de simetría.

Explicación de la identidad de Euler:

La ecuación de Euler significa que una función exponencial puede conectarse y convertirse en una función periódica y viceversa si estamos dispuestos a cambiar / aclarar nuestras propias nociones de dos conceptos y una idea 1. Unidad 2. No linealidad 3. Colaboración de los dos

1. Unidad: es la medida de algo contra algo estándar. Supongamos que tiene una línea que mide, la mide contra otra línea y tiene un círculo que la mide contra otro círculo (no una línea), si está dispuesto a considerar a. Un círculo como una unidad b. Identidad de conversión que relaciona esta unidad con la otra (de ahí la identidad de Euler).
2. No linealidad: surge de la operación binaria llamada exponenciación. Entonces, ¿qué estamos haciendo exactamente cuando elevamos algo al poder de algo? Creamos una operación binaria (consulte álgebra abstracta) que produce simetrías con un elemento de identidad y operaciones inversas. Aquí, al introducir una nueva cantidad llamada sqrt (-1), introduce el i imaginario. No hay nada que imaginar al respecto, pero es muy real. Agregaste una dimensión a tus números y con ella una idea para capturar algo de no linealidad.
3. Al unir todo esto, hemos construido con éxito un conjunto que mide la no linealidad con la no linealidad de la unidad, que ahora puede manejar cualquier grado de no linealidad y se cierra por sí mismo. En otras palabras, hemos descubierto una propiedad fundamental de la naturaleza, y en términos de unidades medibles las cuantificamos. Es un logro increíble y nos ayudará a comprender múltiples, modelar flujos de fluidos, en general la relatividad y todo tipo de cosas.

Answer 5

La matemática de la mecánica cuántica utiliza espacios vectoriales complejos (vectores cuyos elementos son números complejos). Supongo que podría intentar reformular aquellos sin números complejos, por ejemplo, con un subgrupo de matriz isomorfo a los números complejos, pero ¿por qué? El asunto es bastante complicado.

Pediste un ejemplo. Aquí hay uno:

¿Qué es [matemáticas] \ cos (a + b) [/ matemáticas]? ¿Qué es [matemáticas] \ sin (a + b) [/ matemáticas]? Nunca puedo recordar esas estúpidas fórmulas. Realmente no puedo recordar cómo se derivaron en la trigonometría de la escuela secundaria.

Pero yo sé:

[matemáticas] \ cos (a + b) + i \ sin (a + b) = e ^ {i (a + b)} = e ^ {ia} e ^ {ib} = (\ cos a + i \ sin a) (\ cos b + i \ sin b) = (\ cos a \ cos b – \ sin a \ sin b) + i (\ sin a \ cos b + \ cos a \ sin b) [/ math]

Igualar partes reales e imaginarias:

[matemáticas] \ cos (a + b) = \ cos a \ cos b – \ sin a \ sin b [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sin (a + b) = \ sin a \ cos b + \ cos a \ sin b [/ matemáticas]

Answer 6

En términos generales, necesitamos que el sistema numérico sea “completo” para que todo sea “fácil” en el sistema numérico extendido para cada extensión, desde números enteros hasta números racionales, o desde números reales hasta números complejos.

La respuesta a su pregunta es la misma que por qué necesitamos fracciones. Tenemos una solución como [math] \ frac {2} {3} [/ math] cuando necesitamos dividir un número entero por otro entero como [math] 2 [/ math] por [math] 3 [/ math] o resuelva la ecuación [matemáticas] 3 x -2 = 0 [/ matemáticas] si tenemos números racionales.

Necesitamos los números complejos, específicamente necesitamos el número [matemáticas] i [/ matemáticas] para resolver la ecuación [matemáticas] x ^ 2 + 1 = 0 [/ matemáticas] sin ningún problema. Por lo tanto, lógica y algebraicamente, es fácil ver la razón en lugar de nuestra intuición.

Answer 7

Nosotros no Simplemente hacen la vida muy fácil.

Por ejemplo, en corrientes alternas, los inductores y condensadores actúan como una resistencia compleja, basada en la frecuencia de la corriente. Esto significa que la corriente y los voltajes están en diferentes ángulos en el diagrama y el diagrama.

Una onda sinusoidal se representa como la parte real de un brazo de longitud fija que rodea el plano y el plano.

Con trig, puede deshacerse de un gran número de fórmulas utilizando cis (z) = cos (z) + i.sin (z).

Answer 8

Porque en matemáticas no podemos manipular todos los valores con el número real ej.) (- 65) ^ 1/2