Cómo integrar [math] \ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ frac {1- \ cos (x)} {x ^ 2} \, \ mathrm {d} x [/ math], usando cálculo básico de primer año

Answer 1

Dependiendo de lo que considere cálculo de primer año, esta integral no puede evaluarse fácilmente o en absoluto en esos términos.

Sin embargo, considere lo que podemos encontrar por métodos elementales.

Primero, como con cualquier integral de Riemann de este tipo, primero consideramos

[matemáticas] I (N) = \ displaystyle \ int _ {- N} ^ {N} \ frac {1- \ cos {x}} {x ^ 2} [/ matemáticas]

Nuestra tarea es encontrar

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {N \ to \ infty} I (N) [/ matemáticas]

A continuación, integre por partes:

[matemáticas] \ displaystyle I (N) = (1- \ cos {x}) \ frac {-1} {x} | _ {x = -N} ^ {x = N} + \ int _ {- N} ^ {N} \ frac {\ sin {x}} {x} dx [/ math]

En el límite, el primer término es cero, por lo que nos concentramos en el segundo, que es la integral de Dirichlet. Evaluar esto definitivamente no es elemental. Mediante técnicas descritas en Wikipedia, aprendemos que

[matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ {\ infty} \ frac {\ sin {x}} {x} dx = \ frac {\ pi} {2} [/ matemáticas]

Entonces

[matemáticas] \ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ frac {\ sin {x}} {x} dx = \ pi [/ math]

Answer 2

La integral indefinida no es una función elemental, por lo que no puede lidiar con esto en el primer año de esta manera. Pero veamos hasta dónde podemos llegar.
Integración por partes: – (1-cos (x)) / x – integral (-1 / x) (sin (x)) ambas evaluadas entre infinito e infinito. El primer término tiende a cero en ambos límites, por lo que la integral es la misma que para sin (x) / x. Wolfram alpha da esto como pi. Esto es esencialmente la integral de Dirichlet. No estoy al tanto de una prueba de nivel de primer año. Ver https://en.wikipedia.org/wiki/Di … para una prueba.

Answer 3

Answer 4

En estos problemas compuestos, busque usar el cambio de variable.

Use la expresión más complicada como su dv, 1-cos (x), y la expresión menos complicada, que es realmente x a la potencia -2 , como su u .

De modo que dv significará que v se forma a partir de la función sin y x en sí misma.

Y obtener du , también es muy fácil, ya que es un polinomio de término único.

Como dice mi biografía, no haré tu tarea por ti, pero estos son suficientes consejos para seguir adelante.