La dificultad aquí es comprender que el operador nabla no es realmente un vector, sino que puede tratarse como uno para muchos propósitos de cálculo. El producto de Thebdot aquí es simplemente una notación. Por otro lado, el operador nabla es un operador bien definido en vectores, y su resultado puede contraerse con otro vector.
Trataré de evitar entrar en las complicaciones de la geometría diferencial, pero ilustraré cómo funcionan estas cosas jugando con la manipulación de índices. En el contexto del cálculo del tensor, cualquier vector como [math] \ vec {u} [/ math] de hecho tendrá los llamados componentes contravariantes [math] u ^ a [/ math] (“índices arriba”) mientras que el operador derivado tiene una interpretación diferente con los índices covariantes [math] \ nabla_a [/ math] (“índices abajo” ) En este sentido, [math] \ nabla \ vec {u} [/ math] es el equivalente de una matriz con componentes [math] \ partial_a u ^ b [/ math].
[El razonamiento detrás de la colocación de estos índices es el comportamiento de la cantidad bajo un cambio de coordenadas. Pasemos de las coordenadas [matemáticas] x ^ a \ a \ tilde {x} ^ a [/ matemáticas]. Deje que [math] M ^ a_b \ equiv \ partial \ tilde {x} ^ a / \ partial x ^ b [/ math] sea la matriz jacobiana de este cambio de base. Entonces uno puede mostrar que cualquier vector tiene sus componentes cambiados como
[matemáticas] \ tilde {u} ^ a = \ Sigma_b M ^ a_b u ^ b, [/ matemáticas]
pero la regla de transformación para el operador derivado es opuesta:
[matemáticas] \ tilde {\ nabla} _a = (M ^ {- 1}) ^ b_a \ nabla_b. [/ matemáticas]
(He omitido la suma sobre índices repetidos como es estándar).
Todo esto junto significa que la expresión [math] \ vec {u} \ cdot (\ nabla \ vec {u}) = u ^ b \ nabla_b u ^ a [/ math] se transforma como un vector, como puede verificar simplemente conectando las respectivas reglas de transformación.]
Hay un mapa de vectores covariantes a contravariantes llamado tensor métrico. Es una matriz que dependerá de sus coordenadas, y que puede hacer cosas como [matemáticas] u_a = g_ {ab} u ^ b [/ matemáticas]. Ahora, en las coordenadas euclidianas, resulta que no importa la posición en la que decidas poner tus índices porque la métrica es simplemente la matriz de identidad. En este sentido, puede tratar [math] \ nabla_a = \ nabla ^ a [/ math] como un vector y hacer el producto escalar que desea. Sin embargo, en coordenadas generales (por ejemplo, coordenadas esféricas y cilíndricas que son muy importantes para la mecánica de fluidos), la métrica no será trivial y, por lo tanto, simplemente tomará un producto escalar [math] \ vec {u} \ cdot \ nabla [/ math] Estará mal. La forma más correcta es calcular la matriz [math] \ nabla \ vec {u} [/ math] antes y luego contraerla con [math] \ vec {u} [/ math] al final.