¿Cuál es el poder de la derivada de Gateaux?

Una función [matemática] f: V \ rightarrow \ mathbb {R} [/ math] es Gateaux diferenciable si su derivada direccional existe en todas las direcciones posibles. Escribo [math] V [/ math] para un espacio vectorial dimensional arbitrario y posiblemente infinito, en lugar de [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math], porque no tiene sentido tener una derivada Gateaux separada en Dimensiones finitas.

No hay ningún punto debido a este hecho del análisis real: si tenemos secuencias de números [matemática] n [/ matemática] que convergen, entonces convergen de manera uniforme. Sin embargo, si tenemos infinitas secuencias de este tipo, entonces hay una diferencia entre todas las secuencias que convergen y tienen una convergencia uniforme. Esta diferencia es la razón por la que tiene sentido tener múltiples nociones de diferenciabilidad en dimensiones infinitas.

La diferenciabilidad de Gateaux sobre un espacio de Banach (dimensión infinita) corresponde al primer caso, de tener una familia infinita de secuencias que convergen, pero que no especifican una tasa uniforme de convergencia sobre esta familia. La segunda propiedad de convergencia más fuerte corresponde a la diferenciabilidad de Frechet.

Puede que se pregunte cómo estoy comparando exactamente las secuencias y derivados. Recuerde que la derivada (en una dimensión) se calcula como límite de diferencias finitas: por ejemplo [matemáticas] f ‘(x) = \ lim_ {n} \ frac {f \ left (x + \ frac {1} {n} \ right) – f (x)} {\ frac {1} {n}} [/ math]. Este es técnicamente el límite de la mano derecha, pero se entiende la idea.

Solo el hecho de que estas dos nociones de convergencia son diferentes es suficiente, desde una perspectiva matemática pura, para tener definiciones separadas. En la práctica (y por práctica me refiero a otras áreas de las matemáticas puras), la derivada de Gateaux puede ser útil porque

  • Es mucho más fácil demostrar la diferenciabilidad de Gateaux que la diferenciabilidad de Frechet (esencialmente puede pretender que está en [math] \ mathbb {R} [/ math]), ya que solo necesita considerar una dirección a la vez.
  • La diferenciabilidad de Gateaux es suficiente para hacer cosas como el descenso de gradiente (ya que cuando hacemos descenso de gradiente, todo lo que estamos buscando es la mejor dirección única

Para obtener más información, puede ver esta pregunta de desbordamiento de pila Utilidad de la diferenciabilidad de Frechet versus Gateaux o algo intermedio. (donde resulta ser el OP 😉)

Esto confirma mi afirmación de que es “difícil” que una función sea diferenciable por Frechet, pero es relativamente más fácil que sea diferenciable por Gateaux.