¿Cuál es la explicación sobre la regla de Simpson? Educación te da un futuro mejor

La regla de Simpson es una forma inteligente de combinar dos buenas ideas para aproximar numéricamente una integral en una idea aún mejor para aproximar numéricamente una integral.

La mayoría de los estudiantes al principio de su educación de cálculo aprenden que las integrales pueden considerarse áreas bajo curvas. Luego aprenden que pueden aproximar la integral dividiendo esa área en piezas cada vez más pequeñas (generalmente rectángulos). Esto puede producir la respuesta exacta ya que el límite del ancho de las piezas se lleva a cero.

Pero, ¿y si solo queremos una buena aproximación? Podríamos cortar el intervalo en el que nos estamos integrando en varias piezas pequeñas y anclar cada rectángulo en el borde izquierdo de cada intervalo o en el borde derecho de cada intervalo. Este enfoque funciona bien, pero resulta que podemos hacerlo un poco mejor si usamos el punto medio del intervalo.

Entonces, por ejemplo, si queremos el área bajo la función [matemática] f (x) [/ matemática] durante el intervalo [matemática] x \ in (a, b) [/ matemática], podríamos aproximarla por [matemática] (ba) f (a) [/ math] (usando el borde izquierdo) o por [math] (ba) f (b) [/ math] (usando el borde derecho) o por [math] (ba) f \ left (\ frac {a + b} 2 \ right) [/ math] usando el punto medio. Resulta que usar el punto medio es una mejor idea que usar el punto final izquierdo o derecho si planeamos eventualmente hacer que el intervalo [matemático] (a, b) [/ matemático] sea cada vez más pequeño. Es mejor porque el error de la aproximación llega a cero, como la longitud del intervalo elevado a la segunda potencia, que es más rápido que si usa cualquier punto final. (Las potencias más altas significan una convergencia más rápida a cero, por lo que ir a cero como la cuarta potencia es mejor que ir a cero como la segunda potencia, pero no tan bueno como llegar a cero como la sexta potencia, por ejemplo).

Entonces, usar el punto medio es UNA buena idea. Aquí hay otra buena idea (llamada la regla trapezoidal por razones por las que no entraré). Podemos promediar la respuesta que obtenemos usando el punto final izquierdo con la respuesta que obtenemos usando el punto final derecho. Entonces usamos [math] \ frac {ba} 2 \ left (f (a) + f (b) \ right) [/ math]. Resulta que el promedio funciona mejor que usar solo la izquierda o la derecha. De hecho, el error en este enfoque también llega a cero, como la longitud del intervalo elevado a la segunda potencia, la misma tasa que si hubiéramos usado el enfoque de punto medio.

Así que ahora tenemos dos buenas ideas: promediar las áreas dadas cuando usamos los puntos finales O encontrar el área usando el punto medio. Cada uno tiene un error que llega a cero, como la duración del intervalo hasta la segunda potencia. Aquí es donde entra la regla de Simpson. Resulta que podemos simplemente “promediar” las respuestas que obtenemos usando estas dos buenas ideas para obtener una respuesta que es MEJOR que cualquiera de las buenas ideas por sí mismas.

Pongo la palabra “promedio” entre comillas aquí porque nada es tan fácil. Resulta que no tomamos la suma de las dos respuestas y las dividimos entre dos. Esa combinación realmente no funciona mejor que cada respuesta por sí sola. Pero si tomamos el promedio ponderado de dos tercios de la respuesta que obtenemos con la idea del punto medio y un tercio de la respuesta que obtenemos promediando las áreas desde los puntos finales, sucede algo grandioso. La respuesta resultante es en realidad MEJOR que la respuesta dada por cualquiera de las buenas ideas por sí mismas. ¡Este error que cometemos al aproximarnos con este promedio ponderado va a cero como la longitud del intervalo hasta la cuarta potencia!

Este esquema de usar el promedio ponderado de estas dos aproximaciones bastante buenas para obtener una muy buena aproximación es todo lo que hay para la regla de Simpson.

Aquí hay un código de Octave / Matlab que implementará la regla de Simpson para integrar una función durante un intervalo. (Integraré [matemáticas] 30x ^ 2 (1-x) ^ 3 + \ frac \ pi 4 sin (\ pix) -1 [/ matemáticas] de cero a uno como ejemplo. La respuesta exacta es cero. La elección de la función es bastante arbitraria, pero algunas funciones que son demasiado buenas en realidad tendrán propiedades de convergencia que son demasiado buenas, básicamente por coincidencia.

Trazaré los errores de los tres enfoques a medida que el intervalo se divide en más y más piezas. Las gráficas log-log deben tener errores que disminuyan linealmente, y las pendientes de las líneas nos dirán las tasas de convergencia. Aquí están las parcelas junto con las mejores líneas de ajuste. (Los dos son difíciles de distinguir porque los datos son casi perfectamente lineales). El siguiente código utilizado para generar las imágenes sigue.

Parámetros %%
f = @ (x) 30 * x. ^ 2. * (1-x). ^ 3 + pi / 4 * sin (pi * x) -1; % función a integrar
x_start = 0; % punto de partida para el intervalo
x_end = 1; % punto final para el intervalo
n_trials = 100; % de número de ensayos para varios niveles de discretización
start_num_points = 2; % número inicial de puntos
ending_num_points = 2 ^ 9; % número final de poitns
%% Inicializa vectores para almacenar las respuestas
Midpoint_area = ceros (n_trials, 1); % de áreas de punto medio de la tienda
Área_media = ceros (n_trials, 1); % promedio de tiendas de áreas de punto final
Simpsons_area = ceros (n_trials, 1); % almacenar áreas de simpson
n_points = round (espacio de registro (log10 (begin_num_points)), log10 (ending_num_points), n_trials)) ‘; % de puntos en cada prueba

para k = 1: n_trials
n = n_puntos (k); % de puntos para dividir el intervalo en esta prueba
% Discretizar el intervalo
x = linspace (x_start, x_end, n + 1); % cada pieza tendrá longitud (x_end – x_start) / n
dx = x (2) -x (1);

% Primera buena idea: usar los puntos medios
puntos medios = (x (1: final-1) + x (2: final)) / 2;
Midpoint_area (k) = sum (f (puntos medios)) * dx;

% Segunda buena idea: promediar las áreas con los puntos finales izquierdo y derecho
Left_area = sum (f (x (1: end-1))) * dx;
Right_area = sum (f (x (2: end))) * dx;
Área promedio (k) = (Área izquierda + Área derecha) / 2;

% Tercera buena idea: Simpson = Promedio ponderado
Simpsons_area (k) = 1/3 * Average_area (k) + 2/3 * Midpoint_area (k);
fin

%% Grafica los resultados de cada aproximación
% Para las parcelas, usamos una representación log-log porque la pendiente de la
Las líneas de% indican el uso de la tasa de convergencia. Esperamos ver los dos primeros
Las parcelas% tienen pendiente -2 y la tercera tiene pendiente -4.

Figura 1)
plot (log10 (n_points), log10 (abs (Midpoint_area)))
ylim ([- 16 0])
xlabel (‘Registro de número de puntos’)
ylabel (‘Registro de error absoluto’)
título (‘Aproximación del punto medio’)

Figura 2)
plot (log10 (n_points), log10 (abs (Average_area)))
ylim ([- 16 0])
xlabel (‘Registro de número de puntos’)
ylabel (‘Registro de error absoluto’)
título (‘Aproximación trapezoidal’)

figura 3)
plot (log10 (n_points), log10 (abs (Simpsons_area)))
ylim ([- 16 0])
xlabel (‘Registro de número de puntos’)
ylabel (‘Registro de error absoluto’)
título (‘Aproximación de Simpson’)