¿Cuál es la expresión para esta serie infinita: (2/5) + (2 * 6) / (5 * 8) + (2 * 6 * 10) / (5 * 8 * 11) + (2 * 6 * 10 * 14) / (5 * 8 * 11 * 14) +…?

Answer 1

Usando el símbolo de Pochhammer [math] (q) _n = q (q + 1) \ cdots (q + n – 1) [/ math], podemos escribir el término [math] n [/ math] th como
[matemática] \ frac {4 ^ n \ left (\ frac24 \ right) _n} {3 ^ n \ left (\ frac53 \ right) _n} [/ math].
Entonces, si ignoramos el hecho de que la serie no converge, podemos escribirla como la serie Hipergeométrica
[matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {4 ^ n \ left (\ frac24 \ right) _n} {3 ^ n \ left (\ frac53 \ right) _n} = \ sum_ {n = 1 } ^ \ infty \ frac {(1) _n \ left (\ frac24 \ right) _n} {\ left (\ frac53 \ right) _n} \ frac {\ left (\ frac43 \ right) ^ n} {n!} [/matemáticas]
[math] = {} _2F_1 {\ left (1, \ frac24; \ frac53; \ frac43 \ right)} – ​​1 [/ math],
donde [math] 1 [/ math] es el término [math] n = 0 [/ math] faltante y toma la continuación analítica de [math] {} _ 2F_1 [/ math] para asignarle un valor complejo:
[matemática] \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {4 ^ n \ left (\ frac24 \ right) _n} {3 ^ n \ left (\ frac53 \ right) _n} [/ math] “[math ] \ aprox [/ matemática] ”[matemática] 0.3155365940 – 1.1855253951i [/ matemática].

Answer 2

Los términos individuales de la serie.

” (2/5) + (2 * 6) / (5 * 8) + (2 * 6 * 10) / (5 * 8 * 11) + (2 * 6 * 10 * 14) / (5 * 8 * 11 * 14) + “

tienden al infinito Específicamente, después del cuarto término, los términos están aumentando estrictamente en magnitud. Por lo tanto, la serie diverge. ¿Estás seguro de que es la serie correcta?