Esta tiene que ser la solución más [matemática] \ LaTeX [/ matemática] ed e investigada (aunque un poco torpe, porque bueno, no soy matemático) a una pregunta que he escrito sobre Quora.
Seguiremos dos enfoques para llegar al valor de esta fracción continua: programática (mi preferencia personal) y matemática. Comenzaremos con el último, el más elegante de los dos, primero.
La siguiente explicación, en su totalidad, se ha tomado de aquí. Trataré de descomponerlo para que sea más fácil de entender, la forma en que envolví mi cabeza alrededor.
Srinivasa Ramanujan encontró la siguiente correlación entre la fracción continua generalizada, la serie de potencia, [math] \ pi [/ math] y [math] e [/ math]:
- ¿Cómo, usando la serie Maclaurin, obtengo los primeros 4 términos distintos de cero en la expansión de la serie de potencia de tan (x)?
- ¿Cuáles son las secuencias donde la diferencia entre sus términos consecutivos es siempre un número de Fibonacci?
- ¿Cuál es el valor de X en 1 8 1 4 7 0 7 0 X?
- Si [matemáticas] P_n (x) = (x-1) + (x-2) + \ cdots + (xn), [/ matemáticas] ¿qué es [matemáticas] \ dfrac {P_n (x)} {P_ {n-1 } (x)}? [/ matemáticas]
- Si [matemática] a (2) = 5, a (100) = 101, [/ matemática] y [matemática] a (n) = a (a (n-1)), [/ matemática] qué sería [matemática] a (101) [/ math] be?
[matemáticas] \ sqrt {\ frac {\ pi} {2} \ cdot \ frac {e ^ x} {x}} = \ cfrac {1} {x + \ cfrac {1} {1 + \ cfrac {2} {x + \ cfrac {3} {1 + \ cfrac {4} {x + \ cfrac {5} {1 + \ cfrac {6} {x + \ cfrac {7} {1 + \ cfrac {8} {\ ddots}}}}}}}}} ~ + ~ \ Bigg \ {1 + \ frac {x} {1 \ cdot 3} + \ frac {x ^ 2} {1 \ cdot 3 \ cdot 5} + \ frac {x ^ 3} {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdot 7} + \ cdots \ Bigg \}, \ quad x> 0 [/ math]
Ahora, estableciendo [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas], obtenemos:
[matemáticas] \ sqrt {\ frac {\ pi e} {2}} = \ cfrac {1} {1 + \ cfrac {1} {1 + \ cfrac {2} {1 + \ cfrac {3} {1 + \ cfrac {4} {1 + \ cfrac {5} {1 + \ cfrac {6} {1 + \ cfrac {7} {1 + \ cfrac {8} {\ ddots}}}}}}}}} ~ + ~ \ Bigg \ {1 + \ frac {1} {1 \ cdot 3} + \ frac {1} {1 \ cdot 3 \ cdot 5} + \ frac {1} {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdot 7} + \ frac {1} {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdot 7 \ cdot 9} + \ cdots \ Bigg \} [/ math]
[[matemáticas] {\ color {rojo} 1} [/ matemáticas]]
Aquí es donde sucede la magia. La suma continua (la segunda parte) en el lado derecho de la ecuación también se puede escribir como:
[matemáticas] \ Bigg \ {1 + \ frac {1} {1 \ cdot 3} + \ frac {1} {1 \ cdot 3 \ cdot 5} + \ frac {1} {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdot 7} + \ frac {1} {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdot 7 \ cdot 9} + \ cdots \ Bigg \} = \ Bigg \ {\ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {1} {(2n + 1) !!} \ Bigg \} [/ math]
[[matemáticas] {\ color {rojo} 2} [/ matemáticas]]
, donde [math] !! [/ math] es el factorial doble.
Además, como es claramente visible, la parte continua del denominador del primer término en el lado derecho de la ecuación es aquel cuyo valor nos interesa. Entonces, llamémoslo [math] \ alpha [/ math ] por el momento. Es decir,
[matemáticas] \ cfrac {1} {1 + \ cfrac {2} {1 + \ cfrac {3} {1 + \ cfrac {4} {1 + \ cfrac {5} {1 + \ cfrac {6} {1 + \ cfrac {7} {1 + \ cfrac {8} {\ ddots}}}}}}}} = \ alpha [/ math]
[[matemáticas] {\ color {rojo} 2 ‘} [/ matemáticas]]
Así,
[matemáticas] \ sqrt {\ frac {\ pi e} {2}} = \ cfrac {1} {1 + \ alpha} ~ + ~ \ Bigg \ {\ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {1} {(2n + 1) !!} \ Bigg \} [/ math]
[[matemáticas] {\ color {rojo} 3} [/ matemáticas]]
Un poco al respecto antes de continuar:
El factorial doble ([math] !! [/ math]) es una función definida [math] \ forall n | n \ in \ mathbb {Z} \ wedge n \ geq -1 [/ math]. Llamémoslo [math] f (n) [/ math] por el momento.
Ahora, [matemática] f (n) = \ prod_ {k = 1} ^ {n / 2} (2k) = n (n-2) \ cdots 2 [/ matemática], si [matemática] n \% 2 = 0 [/ matemáticas]
[matemática] = \ prod_ {k = 1} ^ {(n + 1) / 2} (2k-1) = n (n-2) \ cdots 1 [/ matemática], si [matemática] n \% 2 \ neq 0 [/ matemáticas]
En otras palabras muy elegantes, el factorial doble de un entero par [matemático] n [/ matemático] es el producto de todos los enteros pares que comienzan desde [matemático] n [/ matemático] hasta [matemático] 2 [ / math], y el producto de todos los enteros impares desde [math] n [/ math] hasta [math] 1 [/ math] en caso de que [math] n [/ math] sea impar.
Por lo tanto, como ejemplo, [matemáticas] 3 !! = 3 \ cdot 1 [/ math], [math] 5 !! = 5 \ cdot 3 \ cdot 1 [/ matemáticas], [matemáticas] 4 !! = 4 \ cdot 2 [/ math] y [math] 14 !! = 14 \ cdot 12 \ cdots 2 [/ math].
[matemáticas] f (-1) = f (0) = 1 [/ matemáticas] por convención.
Y también:
[matemáticas] 8 !! = 8 \ cdot 6 \ cdot 4 \ cdot 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] = (2 \ cdot 4) \ cdot (2 \ cdot 3) \ cdot (2 \ cdot 2) \ cdot (2 \ cdot 1) [/ math]
[matemáticas] = 2 ^ {4} \ cdot (4 \ cdot 3 \ cdot 2 \ cdot 1) [/ math]
[matemáticas] = 2 ^ {4} \ cdot 4! [/ matemáticas]
O en general, cuando [math] n [/ math] es par, [math] n !! = 2 ^ {\ frac {n} {2}} \ cdot (\ dfrac {n} {2})! [/ Math].
Ahora, intentemos darle más sentido a la suma que involucra el factorial doble en [math] {\ color {red} 2} [/ math]:
[matemáticas] \ Bigg \ {\ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {1} {(2n + 1) !!} \ Bigg \} = \ sqrt {\ frac {\ pi e} {2 }} {\ rm ~ erf} (\ tfrac {1} {\ sqrt {2}}) [/ math]
, donde [matemáticas] {\ rm erf} (z) \ equiv \ frac {2} {\ sqrt {\ pi}} \ int_ {0} ^ {z} e ^ {- t ^ 2} dt = \ frac { 2} {\ sqrt {\ pi}} \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ n \, z ^ {2n + 1}} {n! \, (2n + 1)} \, [/ matemáticas]
[[matemáticas] {\ color {rojo} 4} [/ matemáticas]]
, también llamada función de error ([math] erf [/ math]).
Ahora, colocando [math] z = \ dfrac {1} {\ sqrt {2}} [/ math] y sustituyendo el valor final de [math] erf (z) [/ math] (mira aquí para más detalles) , obtenemos:
[matemáticas] \ Bigg \ {\ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {1} {(2n + 1) !!} \ Bigg \} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ sqrt {e} \, \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ n} {2 ^ n \, n! \, (2n + 1)} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ sqrt {e} \, \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ n} {(2n) !! \, (2n + 1)} \, [/ matemáticas]
[[matemáticas] {\ color {rojo} 4 ‘} [/ matemáticas]]
Ahora, como se menciona en el enlace mencionado anteriormente,
[matemáticas] erf (z) = 1 – erfc (z) [/ matemáticas]
[[matemáticas] {\ color {rojo} 5} [/ matemáticas]]
, donde [math] erf (z) [/ math] es la función de error para [math] z [/ math], y [math] erfc (z) [/ math] es la función de error complementaria.
Por lo tanto, continuando desde [math] {\ color {red} 1} [/ math], obtenemos:
[matemáticas] \ sqrt {\ frac {\ pi e} {2}} = \ cfrac {1} {1 + \ alpha} ~ + ~ \ sqrt {\ frac {\ pi e} {2}} {\ rm ~ erf} (\ tfrac {1} {\ sqrt {2}}) [/ math]
[sustituyendo [matemáticas] {\ color {rojo} 4} [/ matemáticas] en [matemáticas] {\ color {rojo} 3} [/ matemáticas]]
O [matemáticas] \ cfrac {1} {1 + \ alpha} = \ sqrt {\ frac {\ pi e} {2}} \ cdot (1 – erf (\ dfrac {1} {\ sqrt {2}}) )[/matemáticas]
O [math] \ cfrac {1} {1 + \ alpha} = \ sqrt {\ frac {\ pi e} {2}} \ cdot erfc (\ dfrac {1} {\ sqrt {2}}) [/ math ]
[de [matemáticas] {\ color {rojo} 5} [/ matemáticas]]
Tomando el recíproco en ambos lados de la ecuación, obtenemos:
[matemáticas] 1 + \ alpha = \ sqrt {\ frac {2} {\ pi e}} \ cdot \ frac {1} {erfc (\ dfrac {1} {\ sqrt {2}})} [/ math]
O [math] \ alpha = \ sqrt {\ frac {2} {\ pi e}} \ cdot \ frac {1} {erfc (\ dfrac {1} {\ sqrt {2}})} – 1 [/ math ]
[[matemáticas] {\ color {rojo} 6} [/ matemáticas]]
, que es exactamente lo que queremos encontrar.
Ahora, poniendo [math] erfc (\ dfrac {1} {\ sqrt {2}}) [/ math] [math] \ approx [/ math]
[matemáticas] 0.317310507862914102829534908735924155044174066546791218025 [/ matemáticas]
(obtenido de aquí), lo que hace que [matemáticas] \ frac {1} {erfc (\ dfrac {1} {\ sqrt {2}})} [/ matemáticas] como
[matemáticas] 3.151487187534377047873800154719758376291199411680485721711 [/ matemáticas]
(aproximadamente; obtenido de aquí).
Además, poner [math] \ sqrt {\ dfrac {2} {\ pi e}} [/ math] como [math] 0.48394144903 [/ math]
(valor aproximado nuevamente; encontrado desde aquí), multiplicando a quién obtenemos:
[matemáticas] \ frac {1} {erfc (\ dfrac {1} {\ sqrt {2}})} \ cdot \ sqrt {\ dfrac {2} {\ pi e}} \ aprox 1.525135276134865781486420527447718062193843040525337767539 [/ matemáticas]
[[matemáticas] {\ color {rojo} 7} [/ matemáticas]]
Al volver a colocar [math] {\ color {red} 7} [/ math] en [math] {\ color {red} 6} [/ math], obtenemos:
[matemáticas] \ alpha \ aprox 1.525135276134865781486420527447718062193843040525337767539 – 1 [/ matemáticas]
O [matemáticas] \ cfrac {1} {1 + \ cfrac {2} {1 + \ cfrac {3} {1 + \ cfrac {4} {1 + \ cfrac {5} {1 + \ cfrac {6} { 1 + \ cfrac {7} {1 + \ cfrac {8} {\ ddots}}}}}}}} \ aproximadamente 0.525135276134865781486420527447718062193843040525337767539 [/ matemáticas]
[sustituyendo de [matemáticas] {\ color {rojo} 2 ‘} [/ matemáticas]]
, que es casi exactamente el valor que queríamos encontrar.
Observe el uso del símbolo [matemáticas] \ aprox [/ matemáticas] aquí. Esto es así porque todos los valores decimales que estamos tratando aquí son decimales continuos.
Ahora, podría decir, el valor al que acabamos de llegar es el valor de la fracción continua infinita, mientras que la pregunta establece que debemos detenernos en [math] \ dfrac {1992} {1 + 1993} [/ math]. Y a eso digo: ¡Gran observación!
Pero como puede ver, el valor de [math] \ alpha [/ math] converge claramente, por lo que realmente no importa si consideramos los términos [math] 1992 [/ math] o un [math] 1000 [/ math ] El punto de convergencia de esta fracción continua no va a cambiar mucho , como se verá ahora:
Ahora a mi parte favorita: el código Java usando una rutina recursiva para encontrar el valor de la fracción continua:
clase pública SumOfContinuedFraction {
public static void main (String [] args) {
System.out.println (sum (1.0, 1992.0));
System.out.println (suma (1.0, 999.0));
}
suma doble estática privada (número doble, límite superior doble)
{
if (número == límite_superior)
número de retorno;
número de retorno / (1.0 + suma (número + 1.0, límite superior));
}
}
, que produce:
0.5251352761609812 0.5251352761609812
, un valor que resuena ( casi ) con lo que obtuvimos a través de nuestro análisis matemático.
Entonces, como podemos ver, si consideramos los términos [matemática] 1992 [/ matemática] o [matemática] 999 [/ matemática], el valor final de la fracción permanece casi igual (la diferencia no es muy perceptible debido a la precisión implicado por el tipo de datos doble en Java).
Editar [matemáticas] 01 [/ matemáticas]:
Reemplazó la fracción continua
[matemáticas] \ cfrac {1} {1 + \ cfrac {2} {1 + \ cfrac {3} {1 + \ cfrac {4} {1 + \ cfrac {5} {1 + \ cfrac {6} {1 + \ cfrac {7} {1 + \ cfrac {8} {\ ddots}}}}}}}} [/ math]
con [math] \ alpha [/ math] para mejorar la legibilidad de la respuesta.
Me doy cuenta de que, sin darme cuenta, he cometido algunos errores en alguna parte de mi explicación, y sería muy amable por parte del lector avisarlos para que pueda actualizar esta respuesta lo antes posible. .
Espero que haya ayudado.