Si [matemáticas] P_n (x) = (x-1) + (x-2) + \ cdots + (xn), [/ matemáticas] ¿qué es [matemáticas] \ dfrac {P_n (x)} {P_ {n-1 } (x)}? [/ matemáticas]

Answer 1

Si eso es realmente una suma, simplemente puedes escribir
[matemáticas] P_n (x) = nx – \ sum_ {i = 1} ^ {n} i = nx – \ frac {n (n + 1)} {2} [/ matemáticas]
Así que eso
[matemáticas] P_ {n-1} (x) = (n-1) x – \ frac {(n-1) n} {2} [/ matemáticas]
Y la respuesta es
[matemáticas] \ frac {P_n (x)} {P_ {n-1} (x)} = \ frac {nx – \ frac {n (n + 1)} {2}} {(n-1) x – \ frac {(n-1) n} {2}} = \ frac {n} {n-1} \ frac {x – \ frac {n + 1} {2}} {x – \ frac {n} { 2}} [/ matemáticas]
es decir, simplificando la última fracción,
[matemáticas] \ frac {n} {n-1} \ izquierda (1 – \ frac {1} {2x – n} \ derecha) [/ matemáticas]
Y no es posible más amplificación.
Probablemente le interese ver si eso converge o no, es decir, si la última fórmula es [matemáticas] <1 [/ matemáticas] para grandes [matemáticas] n [/ matemáticas]. En realidad, converge a [matemáticas] 1 [/ matemáticas], porque
[matemáticas] \ lim_ {n \ to + \ infty} \ frac {n} {n-1} = 1 [/ matemáticas]
y
[matemáticas] \ lim_ {n \ to + \ infty} \ frac {1} {2x-n} = 0 [/ matemáticas]
para todos [matemática] x \ neq \ frac {1} {2n} [/ matemática], que eventualmente se convierte en [matemática] 0 [/ matemática] y para la cual [matemática] \ frac {P_n (0)} {P_ {n -1} (0)} = \ frac {n + 1} {n-1} [/ math] que aún converge a [math] 1 [/ math].
Si desea más explicaciones (o cómo continuar el estudio de esta secuencia de polinomios, no dude en preguntar).