¿Cómo encontrar la ecuación [matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} k ^ 3 = \ left (\ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} k \ right) ^ 2 [/ math] ?

Answer 1

Suponiendo que quiere decir [matemáticas] \ sum_ {k = 1} ^ nk ^ 3 = (\ sum_ {k = 1} ^ nk) ^ 2 [/ matemáticas],

Esta ecuación se puede probar utilizando el Teorema de Nicomachus, que establece que:

[matemáticas] 1 ^ 3 = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 ^ 3 = 3 + 5 [/ matemáticas]

[matemáticas] 3 ^ 3 = 7 + 9 + 11 [/ matemáticas]

[matemáticas] 4 ^ 3 = 13 + 15 + 17 + 19 [/ matemáticas]

Y en general,

[matemáticas] n ^ 3 = (n ^ 2 − n + 1) + (n ^ 2 − n + 3) + \ cdots + (n ^ 2 + n − 1) [/ matemáticas]

Y el teorema del número impar, que establece que:

[matemáticas] 1 ^ 2 = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 ^ 2 = 1 + 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] 3 ^ 2 = 1 + 3 + 5 [/ matemáticas]

Y en general,

[matemáticas] n ^ 2 = \ sum_ {k = 1} ^ {n} 2k-1 [/ matemáticas]

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Prueba:

Por el teorema de Nicómaco,

[matemáticas] n ^ 3 = (n ^ 2 − n + 1) + (n ^ 2 − n + 3) + \ cdots + (n ^ 2 + n − 1) [/ matemáticas]

Al sumar esto para todos los cubos del 1 al n, se obtiene:

[matemáticas] \ sum_ {k = 1} ^ {n} k ^ 3 = 1 + 3 + 5 + 7 \ cdots + n ^ 2 + n-1 = \ sum_ {k = 1} ^ {\ frac {n ^ 2 + n} {2}} 2k-1 [/ matemáticas]

Que por el teorema del número impar es igual a

[matemáticas] ({\ frac {n ^ 2 + n} {2}}) ^ 2 [/ matemáticas]

Como [math] \ sum_ {k = 1} ^ nk = \ frac {n ^ 2 + n} {2} [/ math], nuestra prueba está completa.

Answer 2

Tal como está escrito, ambas sumas divergen hasta el infinito, como escribe Raúl.

Presumiblemente te refieres a [matemáticas] \ sum_ {k = 1} ^ nk ^ 3 = (\ sum_ {k = 1} ^ nk) ^ 2 [/ matemáticas]. Esto es verdad.

Lo demostramos paso a paso llamado inducción matemática.

Observe que si [math] n = 1 [/ math], entonces [math] \ sum_ {k = 1} ^ nk ^ 3 [/ math] y [math] (\ sum_ {k = 1} ^ nk) ^ 2 [/ math] son ​​iguales a 1, entonces la ecuación se cumple.

Esto nos da un punto de apoyo: sabemos que el resultado es válido para al menos una [matemática] n [/ matemática], y ahora se nos permite usar eso para demostrar que la ecuación se cumple para otra [matemática] n [/ matemática] s también. En nuestro próximo paso, demostraremos que si la ecuación se cumple para [matemática] n = n_0 [/ matemática], entonces también se debe cumplir para [matemática] n = n_0 + 1 [/ matemática]. Esto realmente completará la prueba, porque saber que la fórmula es válida para [matemáticas] n = 1 [/ matemáticas] nos dice que es válida para [matemáticas] n = 2 [/ matemáticas], lo que nos dice que es válida para [matemáticas] n = 3 [/ matemáticas], y así sucesivamente.

Supongamos que [math] \ sum_ {k = 1} ^ {n_0} k ^ 3 = (\ sum_ {k = 1} ^ {n_0} k) ^ 2 [/ math]. Considere la cantidad [matemática] (\ sum_ {k = 1} ^ {n_0 + 1} k) ^ 2 [/ matemática]. Podemos dividir la suma para obtener

[matemáticas] ((\ sum_ {k = 1} ^ {n_0} k) + (n_0 + 1)) ^ 2 [/ matemáticas].

Frustrando, esto es igual a

[matemáticas] (\ sum_ {k = 1} ^ {n_0}) ^ 2 + 2 (n_0 + 1) \ sum_ {k = 1} ^ {n_0} k + (n_0 + 1) ^ 2 [/ matemáticas].

Recordando que estamos asumiendo que el resultado es válido para [math] n_0 [/ math] podemos reescribir esto como

[matemática] \ sum_ {k = 1} ^ {n_0} k ^ 3 + 2 (n_0 + 1) \ sum_ {k = 1} ^ {n_0} k + (n_0 + 1) ^ 2 [/ matemática].

Usando el hecho de que [matemáticas] \ sum_ {k = 1} ^ {n} k = \ frac {n (n + 1)} {2} [/ matemáticas], ahora tenemos

[matemática] \ sum_ {k = 1} ^ {n_0} k ^ 3 + n_0 (n_0 + 1) ^ 2 + (n_0 + 1) ^ 2 [/ matemática].

Combinando términos similares, obtenemos

[matemáticas] \ sum_ {k = 1} ^ {n_0} k ^ 3 + (n_0 + 1) ^ 3 [/ matemáticas],

que es por supuesto

[matemáticas] \ sum_ {k = 1} ^ {n_0 + 1} k ^ 3. [/ matemáticas]

Entonces, en conjunto [matemáticas] \ sum_ {k = 1} ^ {n_0 + 1} k ^ 3 = (\ sum_ {k = 1} ^ {n_0 + 1} k) ^ 2 [/ matemáticas]. Esto completa el segundo paso, por lo que la ecuación se cumple para todos los enteros [math] n \ geq 1 [/ math].

Answer 3

¡Una excelente prueba sin palabras!

Answer 4

Prueba por inducción. Digamos que ya sabemos que la suma de los primeros n enteros es [matemática] \ frac {n (n + 1)} {2} [/ matemática]. Por lo tanto, suponemos que la suma de los cubos de los primeros n enteros es [matemática] \ frac {n ^ 2 (n + 1) ^ 2} {4} [/ matemática]. La suma de los cubos de los primeros n + 1 enteros es, por lo tanto, [matemática] \ frac {n ^ 2 (n + 1) ^ 2} {4} + (n + 1) ^ 3 [/ matemática] o , suponiendo que la fórmula es válida, [matemática] \ frac {(n + 1) ^ 2 (n + 2) ^ 2} {4} [/ matemática]. Si ampliamos cada uno de estos en potencias de n , vemos que en realidad son ambos [matemática] \ frac {n ^ 4} {4} + \ frac {3n ^ 3} {2} + \ frac {13n ^ 2} {4} + 3n + 1 [/ matemáticas]. Entonces hemos igualado las dos fórmulas. Ahora demuestre que la ecuación de las dos fórmulas es verdadera para un n particular, digamos 2. [matemáticas] (1 + 2) ^ 2 = 3 ^ 2 = 1 ^ 3 + 2 ^ 3 = 1 + 8 = 9 [/ matemáticas]. Y ahí lo tienes.

Esta es una técnica muy poderosa.

Answer 5

Considere [matemáticas] (k + 1) ^ 4-k ^ 4 = 1 + 4k + 6k ^ 2 + 4k ^ 3 + k ^ 4 – k ^ 4 = 1 + 4k + 6k ^ 2 + 4k ^ 3 [/ matemáticas ]

Tomando la suma de [matemáticas] k = 1 [/ matemáticas] a [matemáticas] k = n [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ n (k + 1) ^ 4-k ^ 4 = \ sum_ {k = 1} ^ n 1 + 4 \ sum_ {k = 1} ^ nk + 6 \ sum_ {k = 1} ^ nk ^ 2 + 4 \ sum_ {k = 1} ^ nk ^ 3 [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ n (k + 1) ^ 4-k ^ 4 = n + 4 \ sum_ {k = 1} ^ nk + 6 \ sum_ {k = 1} ^ nk ^ 2 + 4 \ sum_ {k = 1} ^ nk ^ 3 [/ matemáticas]

LHS = [matemáticas] \ {(n + 1) ^ 4-n ^ 4 \} + \ {n ^ 4- (n-1) ^ 4 \} + \ {(n-1) ^ 4-…. \ } +…. + \ {3 ^ 4-2 ^ 4 \} + \ {2 ^ 4-1 ^ 4 \} [/ matemáticas]

Notamos que excepto el primero y el último, todos los términos cancelan la partida

LHS = [matemáticas] (n + 1) ^ 4-1 [/ matemáticas] Entonces

[matemáticas] \ displaystyle (n + 1) ^ 4-1 = n + 4 \ sum_ {k = 1} ^ nk + 6 \ sum_ {k = 1} ^ nk ^ 2 + 4 \ sum_ {k = 1} ^ nk ^ 3 … .. (1) [/ matemáticas]

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Si conoce valores de [math] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ nk [/ math] y [math] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ nk ^ 2 [/ math] puede sustituirlo en [math ] (1) [/ math] y después de la simplificación, obtenga [math] (4) [/ math]

Sin asumirlos podemos proceder de la siguiente manera.

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Del mismo modo podemos escribir

[matemáticas] \ displaystyle (n + 1) ^ 3-1 = n + 3 \ sum_ {k = 1} ^ nk + 3 \ sum_ {k = 1} ^ nk ^ 2… .. (2) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle (n + 1) ^ 2-1 = n + 2 \ sum_ {k = 1} ^ nk… .. (3) [/ matemáticas]

Sumar (1) y (3) y restar 2 veces (2) da

[matemáticas] \ displaystyle (n + 1) ^ 4-2 (n + 1) ^ 3 + (n + 1) ^ 2 = 4 \ sum_ {k = 1} ^ nk ^ 3… .. (4) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle 4 \ sum_ {k = 1} ^ nk ^ 3 = (n + 1) ^ 2 \ {(n + 1) ^ 2-2 (n + 1) +1 \} = (n (n +1)) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ nk ^ 3 = \ left (\ dfrac {n (n + 1)} {2} \ right) ^ 2 [/ math]

De (3) [matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ nk = \ dfrac {n (n + 1)} {2} [/ matemáticas]

De ahí el resultado requerido.