¿Por qué el difunto Richard Crandall llamó a esta ecuación no trivial, [matemáticas] \ sum _ {x = 1} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ x \ eta ^ {(x)} (x)} {x!} – \ frac {1} {2} \ left (2 \ gamma \ log (2) – \ log ^ 2 (2) \ right) \\ = \ sum _ {x = 1} ^ {\ infty } (- 1) ^ x \ left (x ^ {1 / x} – \ frac {\ log (x)} {x} -1 \ right) [/ math], donde [math] \ eta [/ math] Cuál es la función Dirichlet Eta?

Para los ingenuos, esta ecuación parece bastante trivial, donde esa persona pensaría

[matemáticas] \ sum _ {x = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ x \ left (x ^ {1 / x} – \ frac {\ log (x)} {x} -1 \ right) \\ = \ sum _ {x = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ x \ left (x ^ {1 / x} -1 \ right) \\ – \ sum _ {x = 1} ^ { \ infty} (- 1) ^ x \ left (\ frac {\ log (x)} {x} \ right). \\ [/ math]

Pero aquellos en el RHS son series condicionalmente convergentes, ¡así que no sabemos su suma!

Mucho más profundo utilicé la identidad para llegar a una suma igual de derivados zeta de 0:

[matemáticas] \ text {La constante MRB} \\ = \ sum _ {x = 1} ^ {\ infty} (-1) ^ x \ left (x ^ {1 / x} -1 \ right) \\ = \ sum _ {x = 1} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ x \ eta ^ {(x)} (x)} {x!} \\ = – \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} l [[n + 1]] \ left ((- 1) ^ n \ left (\ sum _ {x = 1} ^ {n-1} (-1) ^ x \ left ((c (x + 1)) \ binom {n} {x} c (1) ^ {nx} \ right) + c (1) ^ n \ right) + \ frac {1} {2} c (n + 1) \ right) \\ \ text {where} c (1) = log (2), c (n> 1) = – 2 \ zeta ^ {(n-1)} (0) \\ [/ math], l = la lista de coeficientes de la serie Taylor para [matemática] \ exp (-x E ^ x) [/ matemática] y [matemática] l [[n]] [/ matemática] es el enésimo elemento de l.

También hay aplicaciones más fáciles.

Ver pp 28,29 en http://marvinrayburns.com/Univer….