¿Cómo, usando la serie Maclaurin, obtengo los primeros 4 términos distintos de cero en la expansión de la serie de potencia de tan (x)?

Answer 1

La idea básica es que las derivadas de tan (x) terminan siendo potencias de tan (x).

Por ejemplo, la primera derivada generalmente se expresa
tan ‘(x) = seg (x) ^ 2
pero esto se puede simplificar a
tan ‘(x) = 1 + tan (x) ^ 2
o aún más compacto
t ‘(x) = 1 + t ^ 2

En los cálculos de su instructor, necesita la derivada de s. Sin embargo, una mejor estrategia es cuando aparece s, reemplazarlo por 1 + t ^ 2

A continuación, necesitamos calcular previamente el poder de cualquier poder de t:

d (tan (x) ^ k) / dx = k * tan (x) ^ (k-1) * d (tan (x)) / dx
d (tan (x) ^ k) / dx = k * t ^ (k-1) * s = k * t ^ (k-1) * (1 + t ^ 2)

Por esta razón, prefiero cambiar ligeramente la estrategia de su profesor y presentar las diversas derivadas de tan (x) en términos de tan (x) solamente.

Primera derivada:
t ‘(x) = s = 1 + t ^ 2

Segunda derivada (por regla de poder + regla de cadena)
t ” (x) = 2 * t * s = 2 * t * (1 + t ^ 2) = 2 * t + 2 * t ^ 3

Esto es como la regla de poder familiar para polinomios, pero los poderes siguen aumentando en lugar de disminuir debido a la regla s = 1 + t ^ 2

Tercera derivada
t ” ‘(x) = (2 + 6 * t ^ 2) * dt / dx = (2 + 6 * t ^ 2)) * (1 + t ^ 2) = 2 + 8 * t ^ 2 + 6 * t ^ 4

Cuarta derivada
t ” ” (x) = (16 * t + 24 * t ^ 3) * dt / tx
t ” ” (x) = (16 * t + 24 * t ^ 3) * (1 + t ^ 2) = 16 * t + 40 * t ^ 3 + 24 * t ^ 5

Quinta derivada
t ” ” ‘(x) = (16 + 120 * t ^ 2 + 120 * t ^ 4) * (1 + t ^ 2)
= 16 + 136 * t ^ 2 + 240 * t ^ 4 + 120 * t ^ 6

Los derivados son fáciles. Simplemente expanda s = 1 + t ^ 2. Luego obtienes un polinomio en tan (x) Para la serie MacLaurin queremos solo el valor de estas funciones en 0, por lo que las constantes que aparecen en estos polinomios derivados son cruciales

Declararé sin prueba que la SEXTA derivada es

t ” ” ” (x) = 272 * t + 1232 * t ^ 3 + 1680 * t ^ 4 + 720 * t ^ 7

Intenta obtener este resultado tú mismo. Además, está claro sin un cálculo detallado que el término constante de la SEPTIMA derivada será 272 y, por lo tanto, el séptimo término (el cuarto término distinto de cero) será 272/7.

Answer 2

¿Cómo va de la segunda derivación a la tercera? Probemos y resolvamos esto.

Mira la tercera derivada. ¿Qué es? Es [matemáticas] \ frac {d ^ 3 t} {dx ^ 3} [/ matemáticas]. ¿Correcto?

Por lo tanto, es solo la derivada de la segunda derivada, es decir, [matemática] \ frac {d} {dx} (\ frac {d ^ 2 t} {dx ^ 2}) [/ matemática].

Ahora mira arriba. ¿Ya sabemos qué es [matemática] \ frac {d ^ 2 t} {dx ^ 2} [/ matemática]? Sí, lo hacemos, es [matemáticas] 2º [/ matemáticas].

Así que diferencie eso usando la regla de la cadena. ¿Qué es [math] \ frac {d} {dx} (2st) [/ math]? Será [math] 2s (\ frac {dt} {dx}) + t (\ frac {d (2s)} {dx}) [/ math]. Intenta resolver esto, sustituyendo lo que ya sabes en los términos.