¿Cuáles son las secuencias donde la diferencia entre sus términos consecutivos es siempre un número de Fibonacci?

Answer 1

Los números de Fibonacci satisfacen esta propiedad según su definición, al igual que los subconjuntos secuenciales de los números de Fibonacci. Pero esos son aburridos y tiene que haber más. Lo sé porque encontré al menos un ejemplo interesante y un punto de partida para encontrar potencialmente más (o demostrar que las clases que voy a mencionar son las únicas, porque honestamente no estoy seguro ahora).

Primero, veamos la Fórmula de Binet (Fórmula de Binet – AoPSWiki). Podemos usar la fórmula de Binet para encontrar cualquier elemento arbitrario de la secuencia de Fibonacci sin conocer ninguno de los términos anteriores. Es una propiedad de la Golden Ratio (Golden ratio) y es bastante buena en general.

Entonces, tomemos prestada la notación de mi enlace y digamos F (n) = la fórmula de Binet (n es un elemento de los números naturales). Para F (1) = 1, F (2) = 1, F (3) = 2, etc.

Supongo que su pregunta es cualquier secuencia que satisfaga la siguiente condición: X es una secuencia tal que para todos x [i], x [i + 1] en X, x [i + 1] – x [i] es Un número de Fibonacci.

Cualquier secuencia que satisfaga este formulario funcionará:

S = {1 * F (n), 2 * F (n), 3 * F (n), 4 * F (n),. . . , j * F [n], (j + 1) * F [n],. . .}

Podría volver más tarde con una prueba rigurosa. Pero es bastante fácil intuir por qué este es el caso:

s [1] = 1 * F (n)
s [2] = 2 * F (n)
s [2] – s [1] = 1 * F (n) – 2 * F (n) = F (n) * (1 – 2) = F (n)
s [j] = j * F (n)
s [j + 1] = (j + 1) * F (n)
s [j + 1] – s [j] = (j + 1) * F (n) – j * F (n) = (j +1 – j) * F (n) = 1 * F (n)

Por lo tanto, cada elemento de la secuencia tendrá dos números consecutivos cuya diferencia es un número de Fibonacci. Ok, esto fue más riguroso de lo que esperaba, pero aún así. . . Por supuesto, esta podría no ser la clase de secuencias más interesante. Pero hay infinitos de ellos, y es fácil de definir.

Descubrir más es tan fácil como trabajar con la fórmula de Binet y evitar la secuencia para que, pase lo que pase , su resultado salga en alguna forma de F (n). O use la inducción junto con la definición de los números de Fibonacci.

Un ejemplo de esto último es la secuencia T a continuación:

T = {F (2), F (4), F (6), F (8),. . ., F (j), F (j + 2),. . .}

Desafortunadamente, no tengo tiempo para buscar o hacer una prueba en este momento.

Me pregunto si alguien más sabe o puede desarrollar una forma más general. . .

Answer 2

Los números de Fibonacci …

Esa es más o menos la definición de los números de Fibonacci.