Creo que su respuesta es correcta, pero hagamos la prueba rigurosa y elaborada sobre su reclamo “obtenido más o menos por razones, suerte y toneladas de ajustes”.
Para la relación recursiva [matemáticas] a_n = n \ cdot a_ {n-1} + 2, \ a_0 = 3 [/ matemáticas] mostraremos que la solución es
[matemáticas] a_n = n! \ left (a_0 + 2 \ sum_ {k = 1} ^ {n} \ frac {1} {k!} \ right), [/ math]
que es equivalente a la representación
- ¿Cuál es el límite de la serie 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +? . . 1 / n, si n = 10 ^ 5?
- ¿Por qué el difunto Richard Crandall llamó a esta ecuación no trivial, [matemáticas] \ sum _ {x = 1} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ x \ eta ^ {(x)} (x)} {x!} – \ frac {1} {2} \ left (2 \ gamma \ log (2) – \ log ^ 2 (2) \ right) \\ = \ sum _ {x = 1} ^ {\ infty } (- 1) ^ x \ left (x ^ {1 / x} – \ frac {\ log (x)} {x} -1 \ right) [/ math], donde [math] \ eta [/ math] Cuál es la función Dirichlet Eta?
- ¿Cuál es el siguiente número en el orden 1, 5, 11, 19?
- ¿Cómo encontrar la ecuación [matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} k ^ 3 = \ left (\ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} k \ right) ^ 2 [/ math] ?
- ¿Cómo se muestra que [matemáticas] 1-5 \ cdot \ left (\ frac {1} {2} \ right) ^ 3 + 9 \ cdot \ left (\ frac {1 \ cdot3} {2 \ cdot4} \ right) ^ 3-13 \ cdot \ left (\ frac {1 \ cdot3 \ cdot5} {2 \ cdot4 \ cdot6} \ right) ^ 3 \ cdots = \ displaystyle \ frac {2} {\ pi} [/ math]?
[matemáticas] a_n = (a_0-2) \ Gamma (n + 1) + 2e \ Gamma (n + 1,1) [/ matemáticas]
utilizando la función gamma incompleta superior. Por supuesto, esto grita inducción. Entonces revisamos el caso base:
[matemáticas] a_1 = 1! (a_0 + 2 \ cdot 1) = 1 \ cdot a_0 + 2, [/ math]
¡Hurra! Supongamos que la identidad es válida para algunas [matemáticas] n. [/ Matemáticas] Entonces tenemos
[matemáticas] a_ {n + 1} = (n + 1) \ left \ {a_n \ right \} + 2 [/ math]
[matemáticas] = (n + 1) \ left \ {n! \ left (a_0 + 2 \ sum_ {k = 1} ^ {n} \ frac {1} {k!} \ right) \ right \} [/ matemáticas] [matemáticas] + \ frac {2} {(n + 1)!} (n + 1)! [/ matemáticas]
[matemáticas] = (n + 1)! \ left \ {\ left (a_0 + 2 \ sum_ {k = 1} ^ n \ frac {1} {k!} \ right) + \ frac {2} {(n +1)!} \ Right \} [/ math]
[matemática] = (n + 1)! \ left (a_0 + 2 \ sum_ {k = 1} ^ {n + 1} \ frac {1} {k!} \ right) [/ math]
que completa la inducción.
De la definición en el enlace de arriba, tenemos
[matemáticas] \ sum_ {k = 1} ^ n \ frac {1} {k!} = \ frac {\ Gamma (n + 1,1) e} {\ Gamma (n + 1)} – 1, [/ matemáticas]
que da la segunda forma después de un poco de álgebra.