¿Cuáles son las mejores aplicaciones prácticas de series infinitas?

Answer 1

Esta es una pregunta tan interesante. Cuando piensa en los estudiantes que aprenden sobre las series, ya sea en un sentido simple como la serie geométrica, o en un entorno más de cálculo como la serie Taylor, la mayoría de ellos probablemente nunca usarán las series de manera práctica, lo que parece una vergüenza crónica . ¿Pero su pregunta no se trata solo de aplicaciones, sino de las mejores aplicaciones?

Su uso en matemáticas es bastante claro, muchas cosas se representan como una suma infinita, siendo las integrales un ejemplo clave. Por lo tanto, cualquier aplicación de integración podría basarse en series infinitas. Todos estamos tristes cuando descubrimos que no todas las ecuaciones diferenciales ordinarias tienen una solución simple, pero a menudo dependen de soluciones en serie. Como las ecuaciones diferenciales ordinarias a menudo describen fenómenos físicos, surge su uso en el modelado matemático, y aquí nuevamente es probable que surjan series.

En las estadísticas, las funciones generadoras de momentos se utilizan para definir la media, la varianza y otras cantidades estadísticas, y éstas provienen de los coeficientes de una serie.

Creo que dentro de la pregunta acecha un concepto más general. ¿Encontramos aplicaciones para las matemáticas, las matemáticas que ya existen sin una aplicación, o nuestra pregunta al tratar de resolver un problema da lugar a una matemática propia? Desde un punto de vista histórico, esto podría ser interesante para usted La serie Taylor y sus aplicaciones

Answer 2

Una serie infinita es un conjunto interminable (generalmente Aleph-Null o en el vecindario) de números que son el resultado de una función dada. Un buen ejemplo sería este:

O:

Todos estos son ejemplos de sumas convergentes, que son cuando el límite de una determinada función converge a un único valor finito, como en la segunda imagen.

Una suma divergente, como la suma de todos los enteros positivos, no converge en un solo valor. Tienden hacia los infinitos positivos o negativos, ya que por definición no pueden tender hacia ningún valor finito.

En cualquier caso, esta ha sido una introducción probablemente terrible de series infinitas.

Sin embargo, con respecto a las aplicaciones, permítanme enumerar algunas muy rápido, ya que mi teléfono está a punto de morir:

Básicamente cualquier cosa que requiera cálculo, ya que las series infinitas están prácticamente en el corazón del cálculo, y se usan en derivados, integrales, etc.

Graficando en general, mientras observa la salida de una sola función sobre (generalmente) todas sus salidas posibles,

y mi teléfono está a punto de morir.

Espero que esto haya ayudado!

Answer 3

No sé si es la mejor, pero una aplicación de series infinitas es el aprendizaje por refuerzo. No voy a escribir toda la ecuación de Bellman ya que ya está en Wikipedia y es bastante larga. Una parte importante de la ecuación de Bellman que incluye una serie infinita es la siguiente.

[matemáticas] \ sum_ {t = 1} ^ {\ infty} \ beta ^ {t} F (x_t, a_t) [/ matemáticas]

En esta ecuación [math] F (x_t, a_t) [/ math] es una función que genera una recompensa por realizar una acción [math] a_t [/ math] en el estado [math] x_t [/ math] en el momento [math] t [/matemáticas].

Debido a la función [matemática] F (x_t, a_t), [/ matemática] la serie diverge a medida que el tiempo [matemática] t [/ matemática] llega al infinito. Esto es un problema, ya que no podremos comparar las recompensas totales de dos secuencias de acción diferentes en una configuración de horizonte de tiempo infinito.

Este problema tiene una solución simple . Al multiplicar cada [matemática] F (x_t, a_t) [/ matemática] con [matemática] \ beta ^ {t} [/ matemática] la serie se vuelve acotada. La siguiente desigualdad es válida.

[matemáticas] \ sum_ {t = 1} ^ {\ infty} \ beta ^ {t} F (x_t, a_t) \ leq \ frac {F_ {max}} {1- \ beta} [/ math]

Ahora podemos comparar las utilidades de dos secuencias de acciones comparando sus límites superiores.

Ecuación de Bellman – Wikipedia

Answer 4

Aquí hay algunos:

1) Una de las mejores aplicaciones de series infinitas es el análisis armónico. Cualquier función periódica puede expresarse como una serie infinita de funciones seno y coseno (dado que se cumplen las condiciones apropiadas). Esto se utiliza para luego analizar la función periódica original y luego aplicarle filtros. Por ejemplo, una grabación de sonido puede tener su bajo eliminado o amplificado, utilizando aproximadamente esta técnica.

2) Algunas ecuaciones diferenciales no pueden resolverse usando una sola función, pero pueden aproximarse como una serie infinita (de potencias de x). Este método se utiliza en el método de expansión de la serie Taylor y en el método Frobenius (donde se supone que la respuesta es una serie Frobenius).

3) Una aplicación simple es convertir una fracción en un decimal recurrente, que es básicamente una serie infinita. Por ejemplo, 1/3 = 0.3333333 …, que se puede escribir como 3/10 + 3/100 + 3/1000 + 3/10000 + … Por lo tanto, tenemos

3/10 + 3/100 + 3/1000 + 3/10000 +… = 1/3

lo que significa que cuantas más fracciones sumes del LHS, más cerca estarás de 1/3. En realidad 0.3333333 … = 1/3 significa esencialmente lo mismo; cuantos más dígitos escriba en la representación decimal de 1/3, más cerca estará de 1/3.

Answer 5

Expansión del universo. Decadencia y deterioro de la tierra.

Answer 6

Para resolver problemas como Aquiles y la tortuga .

Answer 7

Calculadoras