¿[Math] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ \ infty {(-1) ^ n} {n ^ 2} [/ math] converge?

Answer 1

No en el sentido de análisis general de convergencia. En particular, la serie parcial hasta k siempre es menor o igual, en valor absoluto, que k ^ 2, pero siempre alterna el signo y siempre aumenta en valor absoluto. Es decir:

| -1 | = 1 <= 1 ^ 2
| -1 + 4 | = 3 <= 4
| -1 + 4-9 | = 6 <= 9
| -1 + 4-9 + 16 | = 10 <= 16
| -1 + 4-9 + 16-25 | = 15 <= 25

De hecho, puede ver en la forma de este ejemplo que la suma parcial hasta k es probablemente solo (-1) ^ k * k * (k + 1) / 2.

Para probar esto, usemos la inducción.

Caso base: para k = 1, la suma parcial es -1, que es -1 * 1 * 2/2. Hecho.
Paso inductivo: si el parcial hasta k es (-1) ^ k * k * (k + 1) / 2, entonces el parcial hasta k + 1 es

(-1) ^ k * k * (k + 1) / 2 + (-1) ^ (k + 1) * (k + 1) ^ 2 =
(-1) ^ k * [k * (k + 1) / 2 – (k + 1) ^ 2] =
(-1) ^ k * (k + 1) * [k / 2 – (k + 1)] =
(-1) ^ k * (k + 1) * [k / 2 – k-1] =
(-1) ^ k * (k + 1) * [k – 2k – 2] / 2 =
(-1) ^ k * (k + 1) * [-k – 2] / 2 =
(-1) ^ (k + 1) * (k + 1) * (k + 2) / 2

que es exactamente lo que necesitábamos

Entonces, la suma parcial hasta que k está creciendo en valor absoluto (como k * (k + 1) / 2) por lo tanto no puede ser convergente a ningún número finito. Y dado que está alternando en signo, no puede ser convergente al infinito ni menos infinito.

Por lo tanto, no puede ser convergente.
QED

Answer 2

Por supuesto no. El término genérico ni siquiera converge hacia 0.

Pero, si tuviera que dar un valor finito a la suma de la serie, le otorgaría el valor 0: es bastante simple modificar la serie de manera que converja. Simplemente tome la serie [math] (- 1) ^ nn ^ 2 r ^ n [/ math] con -1

De hecho, este es un contraejemplo para los teoremas de la conversión de límite límite cuando una hipótesis no se cumple.

Answer 3

¿Hasta el infinito? No lo hace Diverge y cambia de signo a intervalos alternos.

Para ver por qué esto es así. Agrupe los términos de manera que (2 ^ 2-1 ^ 1) + (4 ^ 2-3 ^ 2) +…. (N ^ 2- (n-1) ^ 2) etc.
Cada término anterior será de la forma 2n-1. que no converge ya que N tiende al infinito. Si cada término en una secuencia monótona no converge, la suma no puede converger.

Sé que no he hablado sobre la divergencia. Espero que puedas resolverlo a partir de lo que he dicho. Es difícil proporcionar una respuesta más detallada con la notación apropiada de la aplicación. Entonces, si tiene alguna pregunta, hágamelo saber

Answer 4

Los términos no van a 0. La serie diverge. Ver prueba de término

Answer 5

Es fácil ver que el término general no tiene un límite, por lo que no converge debido a la famosa condición necesaria para la convergencia de una serie.

Answer 6

Aplicando probablemente una de las pruebas más simples para probar la convergencia, la prueba de razón y tomando el módulo de la suma de términos n + 1 y la suma de términos n, la razón es> 1, por lo tanto, diverge.

Answer 7

No, porque la diferencia entre dos términos consecutivos no converge a cero cuando n va al infinito.