¿Cómo se evalúa el límite [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {1} {n} \ left (\ frac {n} {n + 1-H_ {n + 1}} \ right ) ^ n [/ matemáticas]?

Answer 1

Este es un excelente problema. Debido a que es una pregunta de tarea, no escribiré la solución completa ahora, sino que daré pistas. No dude en recordarme en 2 semanas que publique la solución completa.

Primero, mire el artículo de Wikipedia para la serie Harmonic:
Series armónicas (matemáticas)
Para la mayor parte de esta pregunta, será suficiente saber que
[matemáticas] | H_ {n} – ln (n) | <1 [/ matemáticas]

Defina [math] u_n [/ math] para que sea la secuencia dada y [math] v_n = ln (u_n) [/ math]
Es más fácil encontrar [math] \ lim_ {n \ to \ infty} v_n [/ math]
Para este propósito, escriba
[matemáticas] a_n = \ frac {H_ {n + 1} – 1} {n + 1 – H_ {n + 1}} [/ matemáticas]

[matemáticas] v_n = n ~ ln (1 + a_n) – ln (n) [/ matemáticas]

Observe que [math] a_n \ a 0 [/ math], por lo que el teorema de Taylor con el resto de Peano ayudará mucho a simplificar [math] ln (1 + a_n) [/ math] (no necesita nada más complicado para el resto ya que la tasa de convergencia de [math] a_n [/ math] es suficientemente buena).

Ahora, use los primeros términos en la expansión (usted decide cuántos) y evalúe el límite correspondiente.
Necesitará
(de Wikipedia)
Al final, no olvide que ha encontrado el límite del logaritmo de la secuencia que se le da, por lo que debe tomar el exponencial para obtener la respuesta.

Finalmente, verifique la respuesta con Matlab u otro lenguaje de programación: no es un número que normalmente ve en las preguntas de tarea.

Answer 2

Mira, solo es cuestión de sustituir resultados bien conocidos:

[matemáticas] \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} (1 + a / x) ^ x = \ exp (a) [/ matemáticas]

[matemáticas] H_ {n} = \ ln (n) + \ gamma + O (1 / n) [/ matemáticas]

Obtendrá su respuesta para ser:

[matemáticas] \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ frac {1} {n} \ left (\ frac {n} {n + 1-H_ {n + 1}} \ right) ^ n = e ^ {\ gamma-1} [/ matemáticas]