Cómo generar una fórmula para secuencias como 1 ^ 4 + 2 ^ 4 + 3 ^ 4 +…. + N ^ 4 = n (1 + n) (1 + 2n) (- 1 + 3n + 3n2) / 30

Answer 1

Este tipo de secuencias se prueban por principio de inducción matemática.

Para probar esto,

Verificamos si la ecuación es verdadera para n = 1,

Si es así, suponemos que es cierto para n, y mostramos que también es cierto para n + 1.

Para n = 1, el LHS se convierte en 1 ^ 4 = 1.

RHS = (1) (2) (3) (5) / 30 = 1.

Entonces la ecuación dada es verdadera para n = 1.

Ahora, suponemos que es cierto para nie,

1 ^ 4 + 2 ^ 4 + 3 ^ 4 ×… .n ^ 4 = n (n + 1) (2n + 1) (3n ^ 2 + 3n-1) / 30

Ahora agreguemos (n + 1) ^ 4 a ambos lados.

1 ^ 4 + 2 ^ 4 + 3 ^ 4 +… ..n ^ 4 + (n + 1) ^ 4

= n (n + 1) (2n + 1) (3n ^ 2 + 3n-1) / 30 + (n + 1) ^ 4

= {n (n + 1) (2n + 1) (3n ^ 2 + 3n-1) +30 (n + 1) ^ 4} / 30

= (n + 1) {n (2n + 1) (3n ^ 2 + 3n-1) +30 (n + 1) ^ 3} / 30

= (n + 1) {6n ^ 4 + 6n ^ 3–2n ^ 2 + 3n ^ 3 + 3n ^ 2-n + 30n ^ 3 + 90n ^ 2 + 90n + 30} / 30

= (n + 1) {6n ^ 4 + 39n ^ 3 + 91n ^ 2 + 89n + 30} / 30

= (n + 1) (n + 2) {6n ^ 3 + 27n ^ 2 + 37n + 15} / 30

= (n + 1) (n + 2) (2n + 3) (3n ^ 2 + 9n + 5) / 30

= (n + 1) (n + 2) {2 (n + 1) +1} (3n ^ 2 + 6n + 3 + 3n + 3–1) / 30

= (n + 1) (n + 2) {2 (n + 1) +1} (3 (n + 1) ^ 2 + 3 (n + 1) -1} / 30

Entonces, la ecuación dada es verdadera para n + 1 si es verdadera para n.

Además, es cierto para n = 1.

Entonces, también debería ser cierto para n = 2,3,4, … por principio de inducción matemática. Por lo tanto, la ecuación dada es correcta.

Answer 2

La fórmula de Faulhaber en general muestra que

[matemáticas] 1 ^ p + 2 ^ p + 3 ^ p + 4 ^ p + \ cdots + n ^ p = \ sum_ {k = 1} ^ {n} k ^ p [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {1} {p + 1} \ sum_ {j = 0} ^ {p} (- 1) ^ j \ binom {p + 1} {j} B_jn ^ {p + 1-j} ,[/matemáticas]

donde [math] B_1 = – \ frac {1} {2} [/ math] y [math] B_j [/ math] es el número de Bernoulli.

Answer 3

Existe un método general, aunque en sí mismo no generará factorizaciones ordenadas, para sumas de términos polinomiales generales, siempre que los coeficientes polinómicos pertenezcan a un campo.

Evaluar (como polinomios, con la expansión obvia) la secuencia de productos

[matemáticas] P_0 = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] P_1 = n [/ matemáticas]

[matemáticas] P_2 = n (n – 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] P_3 = n (n – 1) (n – 2) [/ matemáticas]

y así sucesivamente, hasta que haya alcanzado el mismo grado que su polinomio dado.

La división polinómica formal directa (¡MUY sencilla!) Le permitirá expresar el polinomio dado como un múltiplo de [matemáticas] P_i [/ ​​matemáticas] de grado coincidente y un resto de grado inferior. Enjuague y repita con el resto, siempre dividiendo entre [matemáticas] P_i [/ ​​matemáticas] del mismo grado.

Eventualmente, tendrá todo el polinomio expresado como una suma de múltiplos de [math] P_i [/ ​​math].

Ahora es fácil expresar cada [matemática] P_i (n) [/ matemática] como una diferencia [matemática] \ frac {1 [/ matemática] [matemática]} {i + 1} (P_ {i + 1} (n + 1) – P_ {i + 1} (n)) [/ math]

Pruébalo y verás!

[matemáticas] P_ {i + 1} (n + 1) – P_ {i + 1} (n) = [/ matemáticas]

[matemáticas] (n + 1) (n) \ puntos (n – i + 2) (n – i + 1) – (n) (n – 1) \ puntos (n – i) (n – i) = [ /matemáticas]

[matemáticas] (n + 1 – n + i) (n) \ puntos (n – i + 2) (n – i + 1) = [/ matemáticas]

[matemáticas] (1 + i) P_i [/ ​​matemáticas]

Esto facilita la expresión de la suma de cada múltiplo de una [matemática] P_i [/ ​​matemática] (para sucesivas [matemática] n [/ matemática]) como una suma telescópica de múltiplos de [matemática] P_ {i + 1} [/ math] sobre el mismo sucesivo [math] n [/ math] junto con el siguiente, [math] n + 1 [/ math].

[matemáticas] \ sum_ {n = 0} ^ {r} P_i (n) = \ frac {1} {i + 1} (P_ {i + 1} (r + 1) – P_ {i + 1} (0 ))[/matemáticas]

Finalmente, por supuesto, puede reemplazar la [matemática] P_i [/ ​​matemática] en la suma resultante con polinomios expandidos si lo desea (necesitará calcular el polinomio explícito para la próxima [matemática] P_ {r + 1} [ / math] para esto, además de la idea que ya has calculado). Sin embargo, puede verlo razonablemente tan fácil de calcular el [math] P_i [/ ​​math] como los poderes, dependiendo de lo que quiera hacer con ellos. La diferenciación formal, por ejemplo, es más fácil si trabajas por poderes.

Answer 4

Gracias por A2A.
Este proceso es un poco largo pero fácil de aprender.

Espero que sea de ayuda.