¿Qué se siente al enseñar cálculo multivariable?

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He impartido un curso de servicio de cálculo multivariable en la Universidad de Chicago dirigido a las especialidades de economía y ciencias sociales (número del curso: Matemáticas 195, nombre formal del curso: Matemáticas para las Ciencias Sociales). Mis notas y cuestionarios del curso están disponibles en Math 195

Antes de entrar en detalles sobre la experiencia del curso, quiero agregar el importante descargo de responsabilidad de que muchas personas significan algo considerablemente más sofisticado cuando piensan en “cálculo multivariable” que el curso que me asignaron para enseñar. En particular, nuestro curso evitó muchas de las cosas difíciles pero profundas relacionadas con el rizo, la divergencia, el gradiente, el teorema de Stokes, etc. Seguimos el cálculo multivariable de Stewart, pero omitimos el capítulo donde se cubren estas cosas. Nos centramos en las partes del texto que eran más directamente relevantes para las especialidades de economía y ciencias sociales, es decir, un nivel sólido de comodidad con las ideas de derivadas parciales y funciones integradoras de múltiples variables.

Siento que el curso, tal como lo enseñé, tenía una característica realmente agradable y rara: las partes más importantes eran (relativamente) las más fáciles . Comenzamos cubriendo curvas paramétricas y diferenciación paramétrica y cosas relacionadas con el producto punto y el producto cruzado y ángulos entre vectores. Esto es algo moderadamente difícil de entender porque implica cierto nivel de visualización tridimensional. Tampoco es tan importante.

El corazón del curso (cubierto alrededor del medio) es la idea de derivadas parciales. Y la idea más importante de diferenciación parcial, es decir, que diferencia la función con respecto a una variable que trata a las demás como constantes, es algo que los estudiantes ya saben . El resto del proceso computacional es algo con lo que las personas tienen mucha práctica en el cálculo de una sola variable. Por supuesto, hay muchas más sutilezas en los derivados parciales, y hay mucho que decir sobre la importancia económica de los derivados parciales, los parciales de segundo orden y el parcial mixto de segundo orden. Cubrí muchas de estas ideas. Pero el hecho de que la idea más importante y central sea tan fácil (en términos relativos) significa que la experiencia es más relajante.

Las partes posteriores del curso cubren ideas algo complicadas: vectores de gradiente, derivadas direccionales, máximo / mínimo para funciones de múltiples variables y multiplicadores de Lagrange. Es difícil transmitir claramente los multiplicadores de Lagrange, aunque lo intenté. Aunque nuestro tratamiento de los multiplicadores de Lagrange no es muy detallado (ya que este es un curso de servicio), muchos de mis alumnos (así como los alumnos de otros instructores) declararon que todavía era mucho más claro desde el punto de vista conceptual que la forma en que se les dijo que usaran Multiplicadores de Lagrange en economía.

También cubrimos la integración de la función de múltiples variables. Nuevamente, así como la diferenciación parcial se siente computacionalmente como la diferenciación ordinaria, la integración de funciones de múltiples variables se parece mucho a la integración de una función de una variable.

Durante la última semana del curso, tuve cierta flexibilidad con respecto a temas adicionales. La recomendación general era continuar haciendo más integrales múltiples: integrales triples, incluida la ordenación geométrica. Decidí no hacerlo, porque sentí que la visualización geométrica no era necesariamente algo que fuera útil para las clases de ciencias sociales. En cambio, decidí buscar max / min para una función de múltiples variables con más detalle, explorando algunas formas funcionales específicas (como formas separablemente y separables multiplicativamente) con considerable detalle.

En muchos aspectos, la clase de cálculo multivariable que enseñé fue fácil y divertida. Parte de lo que lo hizo fácil fue que, dado que se trataba de un curso de servicio dirigido a científicos sociales, había menos mandato para asegurarnos de exponer a los estudiantes a pruebas o a una amplia gama de tipos de aplicaciones: podríamos centrarnos solo en pruebas que significativamente ayudó a la comprensión del alumno y a ejemplos de las ciencias sociales También fue más fácil que enseñar álgebra lineal porque dependía en gran medida de los conceptos y procedimientos computacionales aprendidos en el cálculo de una sola variable. Los estudiantes necesitaban ajustar sus modelos existentes, no construir completamente nuevos desde cero .

Especulativamente, diría que hacer más integrales geométricas múltiples y / o tener cosas relacionadas con el teorema de Stokes en el programa habría reducido significativamente tanto el aspecto “fácil” como el “divertido” del curso.