¿Pueden los campos de las matemáticas definirse completamente por sus procedimientos? Dicho de otra manera, si sé suma, resta, división, multiplicación, ¿entonces sé aritmética?

Answer 1

La respuesta corta es: la prueba moderna del último teorema de Fermat demuestra que, para matemáticos profesionales, al menos, la respuesta es no. Ahora, aquí está mi explicación completa …

Esto, en mi opinión, es precisamente donde entra en juego el Teorema de incompletitud de Godel.

Lo que dice este teorema es que para cualquier sistema de axiomas y definiciones lo suficientemente poderoso como para abarcar la teoría de números, es posible derivar una afirmación que sea 1) no demostrable en ese sistema, suponiendo que sea coherente, y 2) pero que deba ser verdadera.

En términos más simples, esto significa que no puede haber un conjunto de “procedimientos” que abarque completamente todas las declaraciones verdaderas sobre los números. En algún momento, sus procedimientos llegan a una limitación.

De vez en cuando, los matemáticos deben proponer nuevas técnicas matemáticas para demostrar ideas que antes eran bastante expresables, pero no demostrables, en el viejo sistema.

Sugeriría que la prueba del último teorema de Fermat es tal caso. Fermat pudo expresar la idea; pero es muy poco probable que tuviera las herramientas para probarlo.

En particular, las técnicas modernas para probar el último teorema de Fermat requirieron llegar a otros “campos” matemáticos como la geometría analítica. Por lo tanto, para responder a su pregunta: en lo que respecta a los matemáticos, ningún “campo” es realmente suficiente en sí mismo .

En consecuencia, cualquier conjunto de procedimientos, aritméticos, algebraicos o de otro tipo, es necesariamente inadecuado para demostrar todo lo que se puede saber sobre los números.

Answer 2

[No estoy seguro de si esto llega a tus ediciones recientes a los detalles de tu pregunta, donde discutes sobre Kahn Academy. Pero espero que sea una ventana a los diferentes campos de las matemáticas y donde la “aritmética” encaja en ellos. ]

Sí, y esta es la base de lo que se conoce formalmente como álgebra o, para eliminar la ambigüedad, álgebra abstracta. En lugar de dar por sentados los números y sus operaciones, considera un conjunto arbitrario de objetos que viene equipado con ciertas operaciones.

Por ejemplo, considere la teoría de grupos, que es un subconjunto de álgebra abstracta que estudia las propiedades de cosas llamadas grupos. Estos “grupos” son simplemente conjuntos de elementos equipados con una operación que satisface ciertas propiedades abstractas. En particular, considere un conjunto equipado con una operación llamada OP aquí. Para que el conjunto y el OP sean un grupo, debe ser el caso que:

• para dos elementos “a” y “b” en el conjunto, debe ser el caso de que “a OP b” también esté en el conjunto
• para los objetos “a”, “b” y “c”, debe ser el caso que “(a OP b) OP c = a OP (b OP C)”
• debe haber algún elemento “e” en el conjunto de modo que “a OP e = e OP a = a”
• por cada “a” en el conjunto, debe haber una “b” en el conjunto de modo que “a OP b = b OP a = e”

Como puede ver, un “grupo” es la abstracción de “suma en los números reales” donde “0” es ese elemento especial “e” anterior. La teoría de grupo esencialmente dice: “Suponga que tiene algo similar a una suma. ¿Qué más puede decir al respecto?” En otras palabras, si solo tuvieras adición, ¿qué tipo de matemática podrías hacer? ¿Qué resultaría? O, en otras palabras, ¿qué puede obtener solo usando la suma?

[Para su información, si desea un modelo abstracto de suma y multiplicación, entonces considera un anillo en lugar de un grupo. ]

Entonces, el álgebra (abstracta) nos libera de tener que usar nuestros números y nuestras operaciones específicas y nos permite pensar en las relaciones sobresalientes que se encuentran detrás de todas las operaciones familiares.