Con esta pregunta, supongo que algunas aplicaciones en el mundo real, otra perspectiva es otra respuesta por parte del usuario.
Eliminación o resolución Ax = b o conociendo los valores / vectores propios. La mayor parte de esto tiene algo que ver con el espacio de interés subyacente (Ver espacios de filas y columnas). También vale la pena ver el espacio de Columna si ya no está familiarizado con él, diría una gran cosa en álgebra lineal para un principiante).
Ahora llegando a una perspectiva de nivel más alto y ejemplos (No se preocupe por los detalles y tecnicismos faltantes).
1. Digamos que desea maximizar el costo de fabricación de algunas cosas dadas algunas limitaciones, como las limitaciones de hardware (en muchos casos, puede resolverse mediante programación lineal). No se preocupe si aún no comprende la programación lineal. Pero mi punto principal aquí es que la eliminación, los inversos *, las operaciones de fila (como la que se hace en la eliminación gaussiana / forma escalonada de fila) son bloques de solución para la programación lineal.
2. Los valores propios pueden informarle sobre la estabilidad de un sistema de control. Esto se usa en el control de brazo robótico, por ejemplo.
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3. Por determinante no es muy diferente de otras cosas. Todos estos están conectados. Decir como determinante es el producto de todos los valores propios.
Otras aplicaciones de determinante es el cálculo de la inversa de A, la solución de Ax = b, la fórmula para pivotes, el volumen de una caja. Históricamente, lo principal es que este número único llamado determinante puede decir mucho sobre la matriz.
Lo principal aquí es que todo está conectado a Ax = b, inverso de A, valores propios / vectores de A. Estas cosas son parte de la resolución de muchos problemas como http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_programming (ver aplicaciones de programación lineal para ver qué tan importante es), teoría de control, aprendizaje automático, robótica, resolver ecuaciones diferenciales que provienen de sistemas físicos, lo cual es muy importante.
Estas interrelaciones nos dan más información y métodos eficientes para calcular cosas. Por ejemplo, la implementación ingenua del determinante es el orden de (N!) Pero se puede hacer en operaciones O ([matemáticas] n ^ 3 [/ matemáticas]).
Inverso es algo que encontrará todo el tiempo en computación numérica y otros campos similares. A veces nos interesan las soluciones Ax = b (inversa implícita) y a veces inversa explícita (el costo computacional es diferente incluso si ambas cosas necesitan inversa en algún sentido).
Se actualizará e intentará simplificar más las cosas. 🙂
* (tiene una conexión con los valores propios y cuando no podemos encontrar inversos, un hack que se llama pseudo inverso que siempre existe)