¿Cuál es más grande, [matemáticas] e ^ \ pi [/ matemáticas] o [matemáticas] \ pi ^ e [/ matemáticas]?

Answer 1

Considere la gráfica de [matemáticas] y = \ ln x [/ matemáticas]. En cierto punto de la gráfica, existe una tangente que pasa por el origen. De hecho, podemos encontrar la ecuación de esta tangente.

La pendiente en cualquier punto del gráfico viene dada por [math] {1 \ over x} [/ math]. Como estamos buscando una tangente que pase por el origen, también podemos escribir la pendiente como:

[matemáticas] {{subida} \ over {run}} = {{\ ln x} \ over x} [/ math]

Tiempo para resolver [matemática] x [/ matemática] igualando las pendientes.

[matemáticas] {1 \ over x} = {{\ ln x} \ over x} [/ math]

Solo por inspección podemos ver que [math] x = e [/ math] es una solución. Por lo tanto, la ecuación de la tangente en [math] x = e [/ math] es [math] {x \ over e} [/ math]

Aquí hay un gráfico para aclarar lo que está sucediendo.

En el gráfico, podemos ver que [math] {x \ over e}> \ ln x [/ math] en todos los puntos excepto [math] x = e [/ math].

[matemáticas] x> e \ ln x [/ matemáticas]

[matemáticas] x> \ ln {x ^ e} [/ matemáticas]

El aumento de ambos lados al poder de [matemáticas] e [/ matemáticas], da que:

[matemáticas] {e ^ x}> {x ^ e} [/ matemáticas]

Recuerde que esta desigualdad solo es cierta siempre que [math] x \ ne e [/ math]. Sin embargo, si quisiéramos ser más generales, podemos decir que [math] {e ^ x} \ ge {x ^ e} [/ math] para todos [math] x [/ math]. Como señala Frank Heile, este es un hecho exclusivo de [matemáticas] e [/ matemáticas].

Por lo tanto, sustituir [math] x [/ math] con [math] \ pi [/ math] es válido y podemos responder a nuestra pregunta:

[matemáticas] {e ^ \ pi}> {\ pi ^ e} [/ matemáticas]

Answer 2

Considere la función [matemáticas] f (x) = x ^ {\ frac {1} {x}} [/ matemáticas] para [matemáticas] x> 0 [/ matemáticas]. Esta función tiene una derivada.

[matemáticas] f ‘(x) = \ frac {1} {x ^ 2} x ^ {\ frac {1} {x}} \ left [1 – \ log (x) \ right] [/ math]

Ahora, tenga en cuenta que [math] f ‘(x) <0 [/ math] para [math] x> e [/ math], lo que indica que la función está disminuyendo monotónicamente para todos [math] x> e [/ math]. Por lo tanto, debemos tener eso si [matemática] x_1> x_2 \ geq e [/ matemática] entonces [matemática] f (x_2)> f (x_1) [/ matemática]. En particular, para [matemáticas] x_1 = \ pi [/ matemáticas] y [matemáticas] x_2 = e [/ matemáticas] encontramos

[matemáticas] f (e)> f (\ pi) \ implica e ^ {\ frac {1} {e}}> \ pi ^ {\ frac {1} {\ pi}} [/ matemáticas]

En particular, tenga en cuenta que ambos números son mayores que 1. Esto significa que la desigualdad se preserva si planteo ambos lados wrt [math] \ pi e [/ math]. Al hacer esto, encontramos

[matemáticas] e ^ \ pi> \ pi ^ e [/ matemáticas]

Answer 3

Supongo que quiere resolver esto sin ningún método numérico, por ejemplo, usando una calculadora. No sería tan divertido, ¿verdad?

Veamos la función [matemáticas] f (x) = \ frac {\ ln x} {x}. [/ Matemáticas] Aplicando la regla del cociente, tenemos su primera derivada como

[matemáticas] f ‘(x) = \ frac {1- \ ln x} {x ^ 2} [/ matemáticas]

y su segunda derivada como

[matemáticas] f ” (x) = \ frac {2 \ ln x -3} {x ^ 3} [/ matemáticas].

Ahora, queremos buscar puntos críticos, por lo que establecemos [matemática] f ‘(x) = 0 [/ matemática] que nos dice que solo hay uno de esos puntos, cuando [matemática] \ ln x = 1 [/ matemática] ; es decir, en [matemáticas] x = e [/ matemáticas].

Usando la segunda derivada, es fácil confirmar que este es un máximo.

Esto tiene sentido; el logaritmo natural crece bastante lento, por lo que dividirlo entre [matemática] x [/ matemática] disminuirá los resultados con el tiempo. A menos que [math] x [/ math] no sea muy grande.

Entonces ahora sabemos que [math] \ frac {\ ln e} {e}> \ frac {\ ln x_0} {x_0} [/ math] para cualquier otra [math] x_0 [/ math] en el dominio. En particular, es mayor que cuando [math] x_0 = \ pi [/ math].

Por lo tanto, tenemos [matemáticas] \ frac {\ ln e} {e}> \ frac {\ ln \ pi} {\ pi} \ Rightarrow \ pi \ ln e> e \ ln \ pi \ Rightarrow e ^ {\ pi }> \ pi ^ e [/ math].

Vi este problema en mi primer año de universidad y lo he visto probablemente cuatro veces más desde entonces. Cada vez, olvido cuál es más grande, pero por alguna razón, nunca olvido cómo averiguarlo sin una calculadora.

Answer 4

Ok, esta respuesta no será rápida y resbaladiza, pero es una especie de seguimiento y puedes responder otras preguntas con ella. Voy a usar la serie Taylor, por lo que deberá saberlo con anticipación.

Voy a generalizar un poco, resolviendo lo siguiente para y:

[matemáticas] (a + y) ^ a = a ^ {a + x} [/ matemáticas]

También tengamos [matemáticas] a> 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] x> 0 [/ matemáticas].

Estamos interesados ​​en [matemática] a = e [/ matemática] y [matemática] x = \ pi – e [/ matemática], y queremos mostrar en este caso que [matemática] y> x [/ matemática], y por lo tanto

[matemáticas] (a + x) ^ a <(a + y) ^ a = a ^ {a + x} [/ matemáticas],

que dice [matemáticas] \ pi ^ e

La prueba general a continuación mostrará que

Teorema:

[matemáticas] (a + x \ ln (a)) ^ a <(a + y) ^ a = a ^ {a + x} [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que el lado izquierdo es al menos [matemática] (a + x) ^ a [/ matemática] cuando [matemática] a \ geq e [/ matemática].

Prueba:

[matemáticas] (a + y) ^ a = a ^ {a + x} [/ matemáticas]

[matemáticas] a + y = a ^ {1+ \ frac {x} {a}} = a \ cdot a ^ {\ frac {x} {a}} [/ matemáticas]

[matemáticas] y = a \ cdot \ big [a ^ {\ frac {x} {a}} -1 \ big] [/ math]

[matemáticas] y = a \ cdot \ big [e ^ {\ frac {x} {a} \ ln (a)} -1 \ big] [/ math]

Expanda el exponencial con la serie Taylor y extraiga los dos primeros términos para obtener:

[matemáticas] y = a \ cdot \ big [\ frac {x} {a} \ ln (a) + \ sum_ {k = 2} ^ \ infty \ frac {(\ frac {x} {a} \ ln ( a)) ^ k} {k!} \ big] [/ math]

[matemáticas] y = x \ cdot \ ln (a) + a \ cdot \ sum_ {k = 2} ^ \ infty \ frac {(\ frac {x} {a} \ ln (a)) ^ k} {k !} [/matemáticas]

Como la serie es positiva para todos [matemática] x> 0 [/ matemática], [matemática] y> x \ cdot \ ln (a) [/ matemática].

[matemáticas] \ cuadrado [/ matemáticas]

Cuando [math] a = e [/ math], se deduce que [math] y> x [/ math], que era el objetivo de la publicación original. Puede probar estimaciones más precisas en y si incluye más términos, pero decir mucho sin tablas requerirá estimaciones adecuadas para [math] a [/ math] y [math] \ ln (a) [/ math] – por ejemplo, [ matemáticas] e \ cdot \ frac {(\ frac {x} {e} \ ln (e)) ^ k} {k!}> \ frac {x ^ k} {3 ^ {k-1} k!} [ /matemáticas].

Para x = 1, a = 17, obtienes

[matemáticas] y> 1 \ cdot \ ln (17) [/ matemáticas]

[matemáticas] (17 + 1 \ cdot \ ln (17)) ^ {17} <(17 + y) ^ {17} = 17 ^ {17 + 1} [/ matemáticas]

Esta última declaración dice incluso más que la declaración [matemáticas] 18 ^ {17} <17 ^ {18} [/ matemáticas]. Dice [matemáticas] 19.833… ^ {17} <17 ^ {18} [/ matemáticas]. Sin una calculadora, las aproximaciones descuidadas como [matemática] e <3 [/ matemática] aún le permiten decir que [matemática] 19 ^ {17} <17 ^ {18} [/ matemática] aquí.

[math] a \ geq e [/ math] es suficiente para decir siempre [math] (a + x) ^ a 0 [/ math] y [math] a> 1 [/ math].

Answer 5

Bueno, todo se reduce a la definición de [matemáticas] e [/ matemáticas]. Si su definición de [matemáticas] e [/ matemáticas] es el límite

[matemáticas] e = \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (1+ \ frac1n \ right) ^ n [/ math]

entonces podemos probar que [matemática] e ^ x> x + 1 [/ matemática] para [matemática] x> 0 [/ matemática] de la siguiente manera: let [matemática] n = m / x [/ matemática]. Entonces [math] m \ to \ infty [/ math] cuando [math] n \ to \ infty [/ math] y

[matemáticas] e = \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (1+ \ frac xm \ right) ^ {m / x} [/ math]

[matemáticas] e ^ x = \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (1+ \ frac xm \ right) ^ m [/ math]

Por el teorema binomial,

[matemáticas] \ izquierda (1+ \ frac xm \ derecha) ^ m = 1 + \ binom m1 \ frac xm + {} [/ matemáticas] cosas positivas

entonces

[matemáticas] e ^ x> 1 + x [/ matemáticas]

y luego podemos terminar como en la solución de Bhargav Ram.

Por supuesto, también puede usar la siguiente definición de [matemáticas] e ^ x [/ matemáticas], lo que hace que la solución sea aún más fácil:

[matemáticas] e ^ x = 1 + x + \ frac {x ^ 2} {2!} + \ frac {x ^ 3} {3!} + \ cdots [/ matemáticas]

También puede definir [matemática] e ^ x [/ matemática] como la solución de la ecuación diferencial [matemática] y ‘= y [/ matemática] con [matemática] y (0) = 1 [/ matemática]. Entonces, si [matemáticas] f (x) = e ^ x – x – 1 [/ matemáticas],

[matemáticas] f ‘(x) = e ^ x – 1> 0, [/ matemáticas]

entonces [math] f [/ math] está aumentando en números positivos y [math] f (0) = y (0) – 0 – 1 = 0 [/ math].

Answer 6

Considere la función [matemáticas] f (x) = x ^ \ frac {1} {x} [/ matemáticas].
Entonces
[matemáticas] f ‘(x) = \ frac {x ^ \ frac {1} {x} (1-ln (x))} {x ^ 2} [/ matemáticas]

La derivada tiene una raíz en [math] e [/ math], y es negativa para [math] x> e [/ math]. Entonces [math] f (x) [/ math] tiene un máximo en [math] x = e [/ math], y disminuye para [math] x> e [/ math].

Entonces, como [math] e <\ pi [/ math],
[matemáticas] f (e)> f (\ pi) [/ matemáticas]
[matemáticas] e ^ \ frac {1} {e}> \ pi ^ \ frac {1} {\ pi} [/ matemáticas]

Ahora eleva ambos lados al exponente [math] \ pi e [/ math] para obtener [math] e ^ \ pi> \ pi ^ e [/ math].

Answer 7

Resulta que la función [matemáticas] x ^ {1 / x} [/ matemáticas] se maximiza con el número e . Esa es una de varias formas posibles de definir e , aunque no es la más común. Si define e de alguna otra manera, puede usar el cálculo básico para mostrar que esta propiedad de e se deduce de su definición.

De ello se deduce que [matemáticas] e ^ {1 / e}> \ pi ^ {1 / {\ pi}} [/ matemáticas]. Podemos elevar ambos lados de esta desigualdad al poder [math] e \ pi [/ math] y preservar la desigualdad porque elevar los números a un poder positivo es una función creciente. Hacerlo nos da la desigualdad [matemáticas] e ^ {\ pi}> \ pi ^ {e} [/ matemáticas], y hemos concluido la prueba.

La izquierda como ejercicio es para mostrar que mi primer reclamo de que la función [matemáticas] g (x) = x ^ {1 / x} [/ matemáticas] se maximiza sea el número e . No puedo hacer esto por ti sin saber cómo eliges definir e . Diferenciando la función, configurándola igual a cero, y la resolución lo lleva a la mayor parte del camino si define e como el número cuyo registro natural es uno.

También se deja como ejercicio mostrar que, para argumentos positivos, [matemática] f (x) = x ^ a [/ matemática] es una función creciente para cualquier [matemática] a> 0 [/ matemática], y finalmente si f es cualquier función creciente, [matemáticas] x> y \ \ implica \ f (x)> f (y) [/ matemáticas].

Answer 8

Para la función [matemáticas] f (x) = \ ln {(x)} – \ ln {(\ ln {x})} [/ matemáticas], [matemáticas] x = e [/ matemáticas] es el punto de mínimos y se evalúa como 1. Por lo tanto, [math] f (\ pi)> 1 [/ math].
[matemáticas] \ ln {(\ pi)} – \ ln {\ ln {\ pi}}> \ ln {e} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln {\ frac {\ pi} {\ ln {\ pi}}}> \ ln {e} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {\ pi} {\ ln {\ pi}}> e [/ matemáticas]

[matemáticas] \ pi> e \ ln {\ pi} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ pi \ ln {e}> e \ ln {\ pi} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln {e ^ {\ pi}}> \ ln {\ pi ^ {e}} [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {\ pi}> \ pi ^ {e} [/ matemáticas]

Answer 9

[matemáticas] e ^ \ pi [/ matemáticas] es más grande.
Voy a usar el enfoque de la razón. Deje que [math] r = \ frac {e ^ \ pi} {\ pi ^ e} [/ math]. Entonces [math] \ ln (r) = \ ln (e ^ \ pi) – \ ln (\ pi ^ e) = \ pi-e \ ln (\ pi) [/ math]
Para evaluar si la expresión es positiva o negativa, suponga que [math] f (x) = xe \ ln (x) [/ math] y nuestro objetivo es averiguar si [math] f (\ pi) [/ math] es positivo o negativo.
La derivada es [matemática] f ‘(x) = 1- \ frac {e} {x} [/ matemática], que es mayor que cero cuando [matemática] x> e [/ matemática]. Por lo tanto, [matemática] f (x) [/ matemática] aumenta cuando [matemática] x> e [/ matemática].
También se puede encontrar [matemáticas] f (e) = ee \ ln (e) = ee = 0 [/ matemáticas]. En combinación con el aumento de la propiedad, se puede concluir que [matemáticas] f (x)> 0 [/ matemáticas] cuando [matemáticas] x> e [/ matemáticas]. Desde [math] \ pi> e [/ math], [math] f (\ pi)> 0 [/ math].

Por lo tanto, [math] f (\ pi) = \ ln (r)> 0 [/ math] y [math] r> 1 [/ math]. Finalmente uno puede concluir [matemáticas] e ^ \ pi> \ pi ^ e [/ matemáticas]

Por cierto, tengo que admitir que el sistema de mecanografía matemática en el quora apesta cuando aparece. Varios códigos de látex simplemente no funcionan.

Answer 10

[matemáticas] e ^ π [/ matemáticas] o [matemáticas] π ^ e [/ matemáticas]

¿Cuál es más grande?

Para responder a esto, ¡debemos hacer algunas travesuras con los números más famosos de todas las matemáticas!

Para comparar el 2 sin usar una calculadora, comencemos haciendo las potencias de los dos iguales …

Podemos escribir [matemáticas] e ^ π [/ matemáticas] como [matemáticas] (e ^ \ frac {1} {e}) ^ {eπ}. [/ Matemáticas]

Y también podemos escribir [matemáticas] π [/ matemáticas] [matemáticas] ^ e [/ matemáticas] como [matemáticas] (π ^ \ frac {1} {π}) ^ {eπ} [/ matemáticas].

Entonces, ¿cuál es más grande?

[matemáticas] (e ^ \ frac {1} {e}) ^ {eπ} [/ matemáticas] o [matemáticas] (π ^ \ frac {1} {π}) ^ {eπ} [/ matemáticas]

¡La ventaja de esta travesura es que ahora, simplemente tenemos que comparar las cosas que están dentro del paréntesis! Esto es similar a comparar [matemáticas] 4 ^ 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] 5 ^ 2 [/ matemáticas]. ¡Simplemente compara los valores base ya que ambos se elevan a la misma potencia!

Ahora, el problema se reduce a comparar:

[matemática] e ^ \ frac {1} {e} [/ matemática] o [matemática] [/ matemática] [matemática] π ^ \ frac {1} {π} [/ matemática]

Quizás quieras preguntar, ¿cómo seguimos comparando los dos ya que ambos son números irracionales?

Sigue leyendo para descubrir …

Declaremos una función,

[matemáticas] f (x) = x ^ \ frac {1} {x} [/ matemáticas]

Ahora descubramos la primera derivada de [math] f (x) [/ math] …

[matemáticas] f ‘(x) = x ^ \ frac {1} {x} (\ frac {1} {x ^ 2} – \ frac {lnx} {x ^ 2}) [/ matemáticas]

Simplificando un poco más …

[matemáticas] f ‘(x) = (x ^ \ frac {1} {x}) (\ frac {1} {x ^ 2}) (1- (lnx)) [/ matemáticas]

Vamos a establecer la primera derivada, [matemática] f ‘(x) = 0 [/ matemática]

Ahora verás a dónde va todo esto …

Esto implica que

[matemáticas] (x ^ \ frac {1} {x}) (\ frac {1} {x ^ 2}) (1- (lnx)) = 0 [/ matemáticas]

Dado que los primeros 2 términos en la expresión anterior siempre serán + ve,

[matemáticas] 1-lnx = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] lnx = 1 [/ matemáticas]

Eso significa…

[matemáticas] x = e [/ matemáticas]

Ahora pensemos en cómo cambia el signo de [math] f ‘(x) [/ math] acerca de [math] x = e [/ math]

Si intenta conectar algunos valores en [math] f ‘(x) [/ math], se dará cuenta de que

[matemática] f ‘(x) [/ matemática] es + ve de [matemática] (- \ infty, e) [/ matemática]

[math] f ‘(x) [/ math] es -ve de [math] (e, \ infty) [/ math]

[matemáticas] f ‘(x) = 0 [/ matemáticas] en [matemáticas] x = e [/ matemáticas]

Todas estas observaciones nos dicen que [math] f ‘(x) [/ math] cambia el signo de + ve a -ve sobre el punto [math] e [/ math]

ESO SIGNIFICA…..

Terminamos con un Maxima cuando [math] x = e [/ math]

[matemática] e ^ \ frac {1} {e} [/ matemática] es el valor máximo de [matemática] f (x) [/ matemática]

Entonces, volviendo a lo que estábamos comparando,

[matemática] e ^ \ frac {1} {e} [/ matemática] o [matemática] [/ matemática] [matemática] π ^ \ frac {1} {π} [/ matemática]

Bueno, ¡acabamos de demostrar que [math] e ^ \ frac {1} {e} [/ math] es el valor máximo que podemos extraer de nuestra función!

Eso implica …

[matemáticas] e ^ \ frac {1} {e} [/ matemáticas] [matemáticas]> [/ matemáticas] [matemáticas] π ^ \ frac {1} {π} [/ matemáticas]

[matemáticas] (e ^ \ frac {1} {e}) ^ {eπ}> [/ matemáticas] [matemáticas] (π ^ \ frac {1} {π}) ^ {eπ} [/ matemáticas]

Y finalmente,

[matemáticas] e ^ π> π ^ e [/ matemáticas]

¡Y así es como explotas el cálculo!

Answer 11

Veamos el caso general de dos números reales [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] tal que [matemática] e \ leq x 0 [/ matemática], entonces [matemática] x ^ y> y ^ x [/ matemática], y viceversa. Queremos ver cuál es el caso.

Tenemos:
[matemáticas] d = y \, \ ln xx \, \ ln y = xy \ left (\ frac {\ ln x} {x} – \ frac {\ ln y} {y} \ right) [/ math].

Entonces, veamos la función [math] \ ln x / x [/ math]. La primera derivada de esta función es [matemática] (1- \ ln x) / x ^ 2 [/ matemática]. Para [math] x \ geq e [/ math], eso siempre no es positivo, por lo que la función siempre está disminuyendo. Por lo tanto, [math] e \ leq x \ ln y / y [/ math]. Entonces, [matemáticas] d> 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] x ^ y> y ^ x [/ matemáticas].

Ahora, dejemos que [math] x = e [/ math] y [math] y = \ pi [/ math].

Answer 12

e ^ pi es más grande.

Si x ^ y> y ^ x, entonces:

y ln (x)> x ln (y)

ln (x) / x> ln (y) / y

pero la derivada de ln (x) / x es (1-ln (x)) / x ^ 2, que tiene una raíz en x = e, que es un máximo local. Por lo tanto, si x e y son (positivo y) en el mismo lado de e, entonces, si x está más cerca de e que y, ln (x) / x> ln (y) / y se mantiene, y así, también lo hace x ^ y> y ^ x. Con esto, se puede concluir que e ^ pi> pi ^ e.

Answer 13

Puede probar el resultado numéricamente utilizando solo cálculos de precisión limitada.

[matemáticas] 2.71

[matemáticas] 3.14 <\ pi <3.15 [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ \ pi> 2.71 ^ {3.14}> 22.8> 22.7> 3.15 ^ {2.72}> \ pi ^ e [/ matemáticas]

Los valores son lo suficientemente cercanos como para que usar un solo decimal no sea suficiente para demostrar la desigualdad.

Answer 14

Puede haber una forma diferente de verlo.

Pruébelo de esta manera (aunque me gusta mucho el cálculo, me gustaría que use su intuición en este problema antes de entrar en el cálculo).

Entonces,

[matemáticas] e ^ {\ pi} [/ matemáticas] se puede escribir como [matemáticas] ({e ^ \ frac {1} {e}}) ^ {e \ pi} [/ matemáticas]

Similar,

[math] \ pi ^ e [/ math] puede escribirse como [math] ({\ pi ^ \ frac {1} {\ pi}}) ^ {e \ pi} [/ math]

Ahora, tiene una función [matemáticas] f (x) = x ^ {\ frac {1} {x}} [/ matemáticas], use el concepto de Máxima y Mínima y diviértase.

¡Salud!

Answer 15

Errrr, …

… calculadora!

e ^ π = 23.14069263

π ^ e = 22.45915772

Excel en realidad.

El enfoque del ingeniero!; -}

Answer 16

Tome una función f (x) = y = x ^ (1 / x).

Dominio de f (x): x> 0 (ya que, f (x) = e ^ (ln (x) / x))

dy / dx = (x ^ (1 / x)) (1 / x ^ 2) (1-ln (x))

Dado que (x ^ (1 / x)) (1 / x ^ 2) siempre es positivo, la función aumenta monotónicamente para 0 e.

Como, pi> e

f (pi)

pi ^ 1 / pi

O, pi ^ e

Answer 17

Creo que no necesita nada más complicado que calcular solo 8 casos, usando solo números racionales y sin usar las constantes integradas de la calculadora.

Lo sabemos:
2,71 3.14

Entonces podemos calcular lo siguiente:

e ^ pi:
2.71 ^ 3.14 = 22.883559… -> e ^ pi minúscula
2.71 ^ 3.15 = 23.112837 …
2.72 ^ 3.14 = 23.149752 …
2.72 ^ 3.15 = 23.382559… -> e ^ pi caso más alto

Entonces 22.88

pi ^ e:
3.14 ^ 2.71 = 22.216689… -> pi ^ e minúscula
3.14 ^ 2.72 = 22.472357…
3.15 ^ 2.71 = 22.408954 …
3.15 ^ 2.72 = 22.667556… -> pi ^ e caso más alto

Entonces 22.21

Como pi ^ e <22.67 <22.88

Creo que esta es una de las pruebas más simples que uno puede obtener para esta pregunta.

Answer 18

Una forma sencilla de ver el problema es ver qué sucede

pi = 3 + l
e = 2 + m
l [matemáticas] {pi} ^ {2 + Parte irracional} = (pi ^ 2) * (pi) ^ {l} [/ matemáticas]
[matemáticas] {e} ^ {3 + Parte racional} = e ^ 3 * (e) ^ {m} [/ matemáticas]

Existe una buena explicación de que el resultado puede ser inesperado
usando la suma de pi y e podemos aproximar los valores.
y llega que e ^ pi> pi ^ e

Answer 19

Con [math] b> a [/ math], [math] b ^ a [/ math] es más grande que [math] a ^ b [/ math].

[matemática] b ^ a> a ^ b [/ matemática], si [matemática] b> a [/ matemática].

Por lo tanto, [matemáticas] e ^ {\ pi}> \ pi ^ e [/ matemáticas].

Espero que esto ayude.

Answer 20

Un hombre sabio dijo una vez: “Es como dispararle a un conejo y una pistola de elefante”. No dudo de la utilidad real de las respuestas dadas por muchos aquí. Y, las respuestas son esclarecedoras y, en mi opinión personal, “útiles”. Sin embargo, David respondió mejor diciendo que los conectó a su calculadora. Supongo que para eso se creó la calculadora moderna.