¿Cómo se demuestra que [matemáticas] 10 ^ {2n-1} +1 [/ matemáticas] es divisible por [matemáticas] 11 [/ matemáticas] mediante inducción?

Answer 1

Agregando a la respuesta detallada de Alex, aquí hay dos formas simples de probar esto.

• Como [math] 10 ~ \ mathrm {mod} ~ 11 = -1 [/ math], tenemos [math] 10 ^ {2n-1} ~ \ mathrm {mod} ~ 11 = -1 [/ math]. Por lo tanto, [math] 10 ^ {2n-1} +1 ~ \ mathrm {mod} ~ 11 = 0 [/ math].
• Recuerde la prueba de divisibilidad por 11: la suma alterna de dígitos decimales debe ser divisible 11 (por ejemplo, [matemática] 121_ {10} = 11 \ cdot 11, 1-2 + 1 = 0 [/ matemática]). Ahora observe que [math] 10 ^ {2n-1} +1 [/ math] tiene solo dos dígitos distintos de cero, ambos 1s, en posiciones impares y pares. Por lo tanto, la suma alterna es [matemática] 0 [/ matemática]

Si necesita una prueba por inducción, pruebe la prueba de divisibilidad por 11 (utilizando la técnica de la primera viñeta). Para los números expresados ​​en base [math] b [/ math], esto se generaliza a la divisibilidad por [math] b + 1 [/ math].

Answer 2

Como estamos usando la inducción, comience con el caso base de [math] n = 1 [/ math]. [matemáticas] 10 ^ {2 \ cdot 1-1} +1 = 11 [/ matemáticas] así que esto funciona en este caso.

Al realizar el paso inductivo, asumimos que el resultado es verdadero para [matemáticas] n = k [/ matemáticas] y tratamos de demostrarlo para [matemáticas] n = k + 1 [/ matemáticas]. Entonces considere [matemáticas] 10 ^ {2 \ cdot (k + 1) -1} +1 [/ matemáticas]. ¿Cómo podemos hacer que esto se vea como [math] 10 ^ {2 \ cdot k-1} +1 [/ math]? Bueno, [matemáticas] 10 ^ {2 \ cdot (k + 1) -1} +1 = 100 \ cdot 10 ^ {2 \ cdot (k-1) -1} +1 [/ matemáticas], así que es un buen comienzo. Para obtener un [math] 10 ^ {2 \ cdot k-1} +1 [/ math] allí, podemos observar que [math] 100 \ cdot (10 ^ {2 \ cdot k-1} +1) = 100 \ cdot 10 ^ {2 \ cdot k-1} + 100 [/ math], y así
[matemática] 10 ^ {2 \ cdot (k + 1) -1} +1 = 100 \ cdot 10 ^ {2 \ cdot (k-1) -1} +1 [/ matemática]
[matemáticas] = 100 (10 ^ {2 \ cdot k-1} +1) – 99 [/ matemáticas]

Como 99 es divisible por 11 y [matemática] 10 ^ {2 \ cdot k-1} +1 [/ matemática] también lo es (por la hipótesis inductiva), la suma también lo es, ¡y hemos terminado!

Answer 3

Sea [math] S (n) [/ math] la declaración: [math] 10 ^ {2n-1} +1 [/ math] es divisible por [math] 11 [/ math]

Paso básico: [matemática] S (1) [/ matemática]: [matemática] 10 ^ {2 (1) -1} +1 [/ matemática]

[matemática] \ hspace {25.5 mm} = 10 ^ {1} +1 [/ matemática]

[matemática] \ hspace {25.5 mm} = 11 [/ matemática], que es divisible por [matemática] 11 [/ matemática]

Paso inductivo:

Suponga que [matemática] S (k) [/ matemática] es verdadera, es decir, suponga que [matemática] 10 ^ {2k-1} +1 [/ matemática] es divisible por [matemática] 11 [/ matemática]

[math] \ hspace {60 mm} \ Rightarrow 10 ^ {2k-1} + 1 = 11A [/ math]; [matemáticas] A \ in \ mathbb {N} [/ matemáticas]

[math] \ hspace {60 mm} \ Rightarrow 10 ^ {2k-1} = 11A-1 [/ math]

[matemáticas] S (k + 1) [/ matemáticas]: [matemáticas] 10 ^ {2 (k + 1) -1} +1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ hspace {13.5 mm} = 10 ^ {2k + 2-1} +1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ hspace {13.5 mm} = 10 ^ {2k + 1} +1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ hspace {13.5 mm} = 10 ^ {2} \ big (10 ^ {2k-1} \ big) +1 [/ math]

[matemáticas] \ hspace {13.5 mm} = 100 (11A-1) +1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ hspace {13.5 mm} = 1100A-100 + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ hspace {13.5 mm} = 1100A-99 [/ matemáticas]

[math] \ hspace {13.5 mm} = 11 (100A-9) [/ math], que es divisible por [math] 11 [/ math]

Entonces, [matemática] S (k + 1) [/ matemática] es verdadera siempre que [matemática] S (k) [/ matemática] sea verdadera.

Por lo tanto, [matemática] 10 ^ {2n-1} +1 [/ matemática] es divisible por [matemática] 11 [/ matemática].