¿Por qué es [matemáticas] \ frac {\ pi} {4} = \ frac {1} {1} – \ frac {1} {3} + \ frac {1} {5} – \ frac {1} {7} + \ cdots = \ sum_ {i = 0} ^ {\ infty} (-1) ^ i \ cdot \ frac {1} {2i + 1} [/ math]?

Aquí hay un bosquejo de un argumento medio geométrico que escuché hace un tiempo.

Primero, observe que [matemática] \ pi r ^ 2 [/ matemática] es aproximadamente igual al número de puntos de la red dentro del círculo de radio r , es decir, el número de pares (x, y) tal que [matemática] x ^ 2 + y ^ 2 \ le r ^ 2 [/ matemáticas].

El número de estos puntos de la red es equivalente a la suma sobre [math] n \ le r ^ 2 [/ math] del número de formas de expresar n como una suma de dos cuadrados .

Por alguna magia teórica de números, la cantidad de formas de expresar n como una suma de cuadrados de dos enteros positivos es (# divisores de n congruentes con 1 mod 4) – (# divisores de n congruentes con 3 mod 4) . Multiplicar por 4 da el número de formas de expresar n como una suma de cuadrados usando los cuatro cuadrantes.
(Este resultado aparece como Corolario 3.23 en mi copia del texto de la teoría de números de Niven, Zuckerman y Montgomery. Para obtener una intuición parcial, recuerde que el Teorema de los dos cuadrados de Fermat dice que un número primo impar es expresable como una suma de dos cuadrados si es así es congruente con 1 mod 4.)

Pero Sum (# divisores de [matemáticas] n \ le r ^ 2 [/ matemáticas] congruentes con 1 mod 4) = (# veces 1 divide [matemáticas] n \ le r ^ 2 [/ matemáticas]) + (# veces 5 divide [math] n \ le r ^ 2 [/ math]) +… = [math] \ lfloor \ frac {r ^ 2} {1} \ rfloor + \ lfloor \ frac {r ^ 2} {5} \ rfloor + \ cdots [/ math], y de manera similar para la congruencia 3 mod 4.

Por lo tanto, [matemáticas] \ pi r ^ 2 \ aprox 4 (\ lfloor \ frac {r ^ 2} {1} \ rfloor – \ lfloor \ frac {r ^ 2} {3} \ rfloor + \ lfloor \ frac {r ^ 2} {5} \ rfloor – \ cdots) [/ math] , y tomando esta fórmula asintóticamente para deshacernos de la aproximación, y dividiendo entre [math] r ^ 2 [/ math], obtenemos nuestro resultado.

Imagine un reloj circular * con infinitas manecillas, una para cada número entero. Todas las manecillas tienen la misma longitud (el radio del reloj) y comienzan apuntando hasta las 12 del mediodía. Además, cada mano gira a una velocidad constante, aunque la velocidad difiere de una mano a otra. Específicamente, la manecilla #Z corre Z veces en sentido horario durante todo el día por día (cuando Z es negativo, esto equivale a un movimiento en sentido antihorario). Entonces, por ejemplo, la mano # 2 es una hora ordinaria. **

Dado que las manecillas son, en T días después del mediodía, simétricas bajo rotación por T revoluciones, la suma de los desplazamientos de las puntas de las manos desde el centro del reloj debe ser simétrica de manera similar; es decir, esta suma debe ser igual a sí misma rotada por T revoluciones. En consecuencia, siempre que T no sea un número entero (es decir, cuando no sea mediodía), la suma de estos desplazamientos se cancela a cero ***, ya que las manecillas se distribuyen uniformemente durante todo el día. (Sin embargo, cada mediodía, todas las manos se vuelven a juntar a las 12.)

En consecuencia, durante cualquier período de tiempo que no incluya un mediodía, el promedio de la suma de estos desplazamientos es cero. Pero, por la linealidad de los promedios, esto significa que la suma de los desplazamientos promedio de las puntas de las manos individuales desde el centro también es cero durante ese período de tiempo.

En particular, considere el medio día centrado a la medianoche. ¿Cuáles son los desplazamientos promedio de cada sugerencia manual durante este período? [En otras palabras, ¿dónde se encuentra el centro de masa del arco que traza cada mano?] Bueno, echemos un vistazo: (Dado que las manos negativas son las imágenes especulares de las manos positivas, podemos mirar las manos no negativas )

  • Para la mano n. ° 0, nunca ocurre nada emocionante: por supuesto, se queda apuntando directamente hacia 12. En consecuencia, su desplazamiento promedio es de solo 1 longitud de manejo.
  • Para Z positivo incluso, la mano #Z recorre Z / 2 muchos círculos completos, y por lo tanto su desplazamiento promedio es simétricamente cero.
  • Para Z positivo impar, la mano #Z recorre Z muchos semicírculos, Z – 1 de los cuales se emparejan en círculos completos y se cancelan como en el caso par, con un medio círculo sobrante. El semicírculo particular sobrante alterna sobre Z impar impar entre la parte inferior y la mitad superior del reloj. Por lo tanto, para Z impar impar, el desplazamiento promedio es 1 / Z veces mayor que el de una mano que se balancea solo una vez a la mitad del reloj, con la dirección alternando hacia abajo y hacia arriba.

    (¿Pero qué tan grande es el desplazamiento promedio de una punta de mano que se balancea una vez a la mitad del reloj? [En otras palabras, ¿dónde se encuentra el centro de masa de un arco de medio círculo?]

    Bueno, cuando una mano se balancea a través de un arco, su punta de mano se mueve tangente al arco y, por lo tanto, la dirección en que se mueve la punta de la mano en cualquier momento se gira 90 grados desde la dirección de la mano, de modo que la velocidad de la punta de la mano es solo su desplazamiento desde el centro, girado 90 grados, multiplicado por su velocidad angular en radianes. En consecuencia, la velocidad promedio y el desplazamiento promedio están en esa misma relación lineal. Como la velocidad promedio es solo el desplazamiento entre los puntos finales del arco dividido por el tiempo total de la oscilación, encontramos que el desplazamiento promedio de una mano a lo largo de un arco tiene un tamaño igual a la distancia entre los puntos finales del arco dividido por su ángulo en radianes.

    En particular, para un semicírculo, esto es [math] \ frac {2} {\ pi} [/ math] multiplicado por el radio).

Por lo tanto, resumiendo los desplazamientos promedio de todas las manos, incluidas las negativas, obtenemos [matemáticas] 1 – 2 (\ frac {1} {1} – \ frac {1} {3} + \ frac {1} { 5} – \ frac {1} {7} +…) \ frac {2} {\ pi} [/ math] maneja hacia arriba. Ajustando esto a cero, encontramos que [matemáticas] \ frac {1} {1} – \ frac {1} {3} + \ frac {1} {5} – \ frac {1} {7} +… = \ frac {\ pi} {4} [/ math].

[*: Estoy usando esta presentación en términos de la dinámica de un reloj en movimiento porque proporciona un vocabulario ** ** / familiar conveniente. Pero todo lo que realmente estamos haciendo es discutir centros de masa de arcos circulares.]

[**: Pido disculpas por seguir 24 horas al día en un mundo de relojes de 12 horas …]

[***: Los pendientes pueden discutir que, como los desplazamientos no se acercan a 0, esta suma no converge en el sentido delta-épsilon. Bueno, uno puede proporcionar una exposición formal adicional para parchear este argumento en el marco delta-épsilon u otros según sea necesario para fines particulares (por ejemplo, a través del teorema de Abel), pero no me importan las formalidades prematuras, y usted tampoco debería hacerlo.]

La serie de potencia de [math] \ arctan x [/ math] es

[matemáticas] \ arctan x = \ frac {x} {1} – \ frac {x ^ {3}} {3} + \ frac {x ^ 5} {5} – \ frac {x ^ 7} {7} + \ cdots, [/ math]

y enchufar x = 1 da el resultado solicitado.