Las pruebas de los grandes problemas matemáticos parecen ser cada vez más largas y complejas. ¿Sugiere esto que la tasa de progreso en matemáticas puede eventualmente disminuir a cero?

Answer 1

No.

El tipo de pruebas de “libro de texto” que solo toman una o dos líneas casi nunca son las pruebas originales. Para un ejemplo reciente, la prueba histórica de Louis de Branges en 1984 de la conjetura de Bieberbach (que había sido un gran problema abierto en matemáticas durante cincuenta años) fue lo suficientemente larga y complicada como para que hubiera un escepticismo serio sobre su corrección por algún tiempo. Además, las matemáticas requeridas para la prueba estaban mucho más allá del alcance de cualquiera que no fueran expertos en el tema, ciertamente mucho más complicado que las matemáticas requeridas para establecer el resultado. Aquí hay un relato de la prueba de de Branges para el profano:

http://www.math.sunysb.edu/~bish…

Para 1991, la prueba se simplificó a un par de páginas de “cálculo de secundaria”.

(Un analista probablemente podría dar una mejor descripción de la historia aquí).

Las pruebas largas generalmente indican que estamos tomando los conceptos equivocados como fundamentales; en general, al separarlos, veremos que algo se está traduciendo y saliendo de una estructura más apropiada al lenguaje de la época. Cuando esto sucede, generalmente aparece alguien y elimina la complejidad adicional, dándonos una teoría mucho más fácil de entender y esencialmente eliminando cien páginas de cada libro de texto. Esto es lo que sucedió cuando Cayley identificó la idea de un grupo abstracto que subyace en el trabajo de Ruffini, Abel, Galois, Mobius, Lagrange, etc. Ahora todos aprenden primero sobre los grupos, lo que luego aclara mucha teoría de números, geometría, y así adelante. Para una historia más completa:

http://www.gap-system.org/~histo…

La definición de un espacio topológico daría otro ejemplo básico.

http://www.gap-system.org/~histo…

Para ser breves, así es como siempre se han visto las matemáticas al descubrirse. Como dijo mi profesor de biología de la universidad en un contexto espiritualmente similar, “Puede que hayas notado que estos datos se ven borrosos. Los datos revolucionarios siempre se ven borrosos”.

Answer 2

Más o menos lo que dijo Daniel. Muchos problemas nuevos tienen soluciones difíciles precisamente porque no entendemos completamente su contexto completo en una teoría bien establecida (¡de lo contrario, resolverlo sería muy fácil!).

Una vez que se construye y comprende esa buena teoría, las pruebas más simples y sencillas a menudo salen gratis. (Bueno, “gratis” para aquellos que no construyeron la teoría en primer lugar, se ponen de pie sobre los hombros de los gigantes).

Answer 3

De hecho es al revés.

Al principio, un matemático enfrenta un problema (por ejemplo, Lowenheim y Skolem enfrentaron una pregunta realmente importante en la teoría de modelos) e intenta resolverlo. Supongamos que lo resuelve. Okay. ¿La prueba será corta? Es casi seguro que no (se necesitaron varios documentos completos hace casi 100 años). ¿Porqué entonces? Porque de lo contrario no sería necesario un matemático para resolverlo: incluso un estudiante puede encontrar una solución; después de todo, es un problema.
Pero luego surge otro matemático con otro problema que está sorprendentemente relacionado con el anterior (en nuestro caso es Goedel, o Henkin si lo desea, y su teorema de integridad): su problema es o puede ser difícil también, pero se las arregla para resolverlo. . Y después de resolver ese nuevo problema, voila, no necesita un matemático para resolver (o incluso comprender una solución) ese viejo problema (hoy se puede probar el teorema de Lowenheim-Skolem en 6 o 7 pasos cortos).
Y eso es lo que se llama un progreso. Si anteriormente necesitaba un matemático experto, ahora lo hará un estudiante de primer año porque las pruebas se vuelven más cortas y más sencillas *.

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* Hablando francamente, no, porque en nuestro ejemplo, por ejemplo, todavía necesita “probar” el teorema de integridad de Goedel para poder referirse a él.