¿Por qué 1 * -1 = -1 y -1 * -1 = 1?

Answer 1

Uno podría idear todo tipo de juegos de números con diferentes reglas. Sin embargo, por lo general, cuanto más agradables (más simples, más limpias, etc.) son las reglas, más fenómenos modelan útilmente.

Se podría estudiar un sistema de aritmética donde había cosas llamadas multiplicación y [matemáticas] -1 [/ matemáticas], de modo que [matemáticas] -1 \ veces -1 = -1 [/ matemáticas], por ejemplo. Simplemente no es tan útil estudiar el juego definido por esas reglas, en contraste con las más familiares.

Así que echemos un vistazo a las buenas reglas / definiciones que nos pueden dar los resultados que usted menciona.

El primer resultado que menciona proviene inmediatamente de la siguiente buena regla / definición:

Multiplicar cualquier cosa por [matemáticas] 1 [/ matemáticas] lo deja igual. (Si no tuviéramos una regla como esta, difícilmente estaríamos inclinados a llamar a lo que estábamos hablando “multiplicación” y “1”).

El segundo resultado que mencionas es menos obvio. Es el resultado de las siguientes reglas agradables, en combinación con la anterior:

La negación es lo mismo que la resta de cero.
La multiplicación se distribuye sobre la suma y la resta, y la multiplicación de cualquier cosa por cero produce cero [como señala Quora User, todo esto en realidad se sigue automáticamente de solo distribuir sobre la suma, como consecuencia de cómo la resta y el cero están relacionados con la suma; Elegí no escribir las reglas relevantes para la suma, resta y cero aquí porque supongo que ya te sientes cómodo con ellas. Pero si no, podemos profundizar en ellos también.]

Esto significa que [matemáticas] -1 \ veces -1 = (0 – 1) \ veces (0 – 1) = [/ matemáticas] [matemáticas] 0 \ veces (0 – 1) – 1 \ veces (0 – 1) = 0 – (0 – 1) = 1 [/ matemática].

Answer 2

¿Por qué? Debido a que la multiplicación se distribuye sobre la suma, y ​​[math] 1 [/ math] es el elemento de identidad para la multiplicación. En sistemas muy generales donde se mantienen estas propiedades, las igualdades que sugiere son de hecho verdaderas.

Dicho esto, volvamos a la tierra un poco y veamos qué significa esto.

El principio principal en el trabajo aquí es el hecho de que

[matemáticas] (-1) \ cdot x = -x [/ matemáticas]

por cada [matemática] x [/ matemática]. Lea esto como, “menos una vez x es igual a menos x”. Luego, para obtener su caso especial, sustituya [matemática] x = 1 [/ matemática] o [matemática] x = -1 [/ matemática], señalando que [matemática] – (- 1) = 1 [/ matemática] (que puede también se puede probar fácilmente, utilizando la definición de “menos” que sigue).

Para probar esto, necesitamos entender las definiciones. La definición de [matemáticas] y = – x [/ matemáticas] es que es el número único tal que

[matemáticas] x + y = 0. [/ matemáticas]

Así que todo lo que debemos hacer es demostrar que

[matemáticas] x + (-1) \ cdot x = 0. [/ matemáticas]

Pero

[matemáticas] x + (-1) \ cdot x = 1 \ cdot x + (-1) \ cdot x [/ matemáticas]
[matemáticas] = (1 + (-1)) \ cdot x = 0 \ cdot x = 0 [/ matemáticas]

por la propiedad distributiva de la multiplicación.

Nota 1: Utilizamos el hecho de que [matemáticas] x = 1 \ cdot x [/ matemáticas], es decir, que [matemáticas] 1 [/ matemáticas] es el elemento de identidad para la multiplicación.

Nota 2: También utilizamos el hecho de que [math] 0 \ cdot x = 0 [/ math] para cualquier [math] x. [/ Math] Esto se puede probar al observar

[matemáticas] 0 \ cdot x + 0 \ cdot x = (0 + 0) \ cdot x = 0 \ cdot x [/ math]

y restando [matemáticas] 0 \ cdot x [/ matemáticas] de ambos lados.

Answer 3

Si considera que + x y -x son dos vectores opuestos, puede probarlo sobre la recta numérica. Seríamos más claros tomando un número mayor que uno, digamos +2 y -2 .

Cuando dices +2 veces -2 , simplemente estás recogiendo el vector -2 y agregándolo dos veces en la dirección + (o la misma dirección que el vector que tienes, en este caso -2). Entonces, moviéndonos dos veces en la misma dirección de -2 , obtenemos -4 .

Cuando dices -2 veces -2 , simplemente levanta el vector -2 y agrégalo dos veces en la dirección – (o en la dirección opuesta al vector que tienes, en este caso -2). Entonces, moviéndonos dos veces en la dirección opuesta, obtenemos 4 .

Para el número 1 , podemos hacerlo de la misma manera agregándolo una vez en la misma dirección o en dirección opuesta. De manera similar para cualquier x .

Answer 4

Revisa

La respuesta de Yasha Berchenko-Kogan a ¿Por qué un número negativo multiplicado por otro número negativo da un número positivo como producto?

Lo estoy copiando aquí por conveniencia:

Digamos que estás jugando un juego que involucra fichas negras y rojas. Al final del juego, por cada ficha negra que tengas, recibirás un dólar (+1). Por cada ficha roja que tenga, debe pagar un dólar (-1). Ahora, estas fichas están empacadas en bolsas de cinco, y dicen que en algún momento del juego tienes varias bolsas de fichas negras y varias bolsas de fichas rojas.

Si alguien te da tres bolsas de papas negras, entonces ganas 15 dólares. (3) (5) = 15.

Si alguien le quita tres de sus bolsas de chips negros, entonces pierde 15 dólares. (-3) (5) = – 15.

Si alguien te da tres bolsas de chips rojos, entonces pierdes 15 dólares. (3) (- 5) = – 15.

Si alguien quita tres de sus bolsas de chips rojos, entonces gana 15 dólares. (-3) (- 5) = 15.

La idea clave es que los números negativos representan cambios, no cantidades. No tiene sentido decir que tienes -4 rebanadas de pan. Sin embargo, tiene sentido decir que comiste 4 rebanadas de pan y, por lo tanto, el cambio en la cantidad de rebanadas que tienes es -4.

Answer 5

Voy a responder la pregunta más amplia sobre por qué las multiplicaciones por negativos funcionan de la manera que lo hacen.

¿Cómo definimos la multiplicación entera positiva?

x * y = x + x + x… (y veces)

Entonces, ¿qué pasa con x * -y?

-x * y = -x + -x + -x … (y veces)

Mientras haya establecido la suma de enteros, esta definición tiene sentido para los números positivos multiplicados por negativos. Esto establece -1 * 1 = -1

Pero, ¿qué pasa con los negativos multiplicados por negativos?

Podríamos definir esto de diferentes maneras, pero solo una forma mantendrá las reglas intactas, como la propiedad distributiva.

Debe quedar claro que -x * (- y + y) = 0

Si la propiedad distributiva es verdadera, entonces -x * -y + -x * y = 0

Sabemos que -x * y es -x + -x + -x … (y veces) así que, por definición de enteros negativos, -x * -y tiene que ser x + x + x … (y veces) para hacer el primero declaración igual a cero y mantener la propiedad distributiva. Esto establece -1 * -1 = 1.

Answer 6

Para responder preguntas como esta, se deben considerar las propiedades de campo del sistema de números reales. Las propiedades que utilizaremos son:

Los números reales tienen operaciones x y + definidas de la manera habitual, y las identidades correspondientes 1 y 0, de modo que para cualquier número real N,

1xN = N (identidad multiplicativa) y

0 + N = N (identidad aditiva). Además, estas identidades son únicas.

Para cada número real N, hay un número real único -N tal que N + N = 0, el inverso aditivo de N. Es decir, cada número tiene exactamente un número para el cual, cuando sumas los dos números, obtienes el identidad aditiva

Para cada número real distinto de cero N, hay un número real único 1 / N tal que N x 1 / N = 1. Es decir, cada número real distinto de cero tiene exactamente un número para el cual, cuando multiplica los dos números , obtienes la identidad multiplicativa.

También usaremos la propiedad de factor cero y la propiedad distributiva, definida como de costumbre.

Necesitamos demostrar que -1 x -1 = 1, es decir, que -1 es su propia identidad multiplicativa.

Para mostrar esto:

Tenga en cuenta que dado que -1 es un número real distinto de cero, tiene una identidad multiplicativa, llámelo M. Es decir, -1 x M = 1. Si sumamos -1 a cada lado de esta ecuación, obtenemos

-1xM + -1 = 1 + -1 = 0.

Como 1 es el elemento de identidad para la multiplicación, 1 x -1 = -1 y podemos sustituir -1 × 1 en lugar del segundo -1 en la ecuación anterior, y escribir:

-1xM + -1 x 1 = 0

Luego aplicamos la propiedad distributiva al lado izquierdo y escribimos:

-1x (M + 1) = 0.

Ahora, por la propiedad del factor cero, debemos tener -1 = 0 o (M + 1) = 0.

Como -1 no es 0, M + 1 es 0, es decir, M es el inverso aditivo de 1.

Pero el inverso aditivo de 1 es -1, y es único, por lo que M, el inverso aditivo de 1, también debe ser el inverso multiplicativo de -1. Entonces -1 es su propio inverso multiplicativo, es decir -1x-1 = 1.

Answer 7

Para aclarar un poco las cosas, defina -1 como la solución para x de la ecuación
[matemáticas] (1 + x) = 0. [/ matemáticas]
Cuadrando ambos lados de la ecuación, obtenemos
[matemáticas] 1 + 2x + x ^ 2 = 0. [/ matemáticas]
Agregue uno a ambos lados de la ecuación y agrupe los términos de la siguiente manera:
[matemáticas] 2 (1 + x) + x ^ 2 = 1. [/ matemáticas]
Sabemos que [matemáticas] 1 + x = 0 [/ matemáticas], por lo que nos queda la conclusión de que
[matemáticas] x ^ 2 = 1. [/ matemáticas]

Answer 8

Veamos esto por contradicción, digamos (-1) * (- 1) = (- 1). Luego dividiendo en
ambos, entre (-1), obtenemos {(-1) * (- 1)} / (- 1) = (- 1) / (- 1) que más adelante en la simplificación
(-1) * {(- 1) / (- 1)} = 1 como (-1) / (- 1) = 1
(-1) * (1) = 1 y finalmente -1 = 1 !! Por supuesto que es una contradicción; (

Answer 9

Supongamos la multiplicación si es una transacción. El primer número significa la cantidad de un objeto. Por ejemplo, bolígrafos. Y el segundo número significa la dirección de la transacción. Solo para ser muy crudo.
Supongamos que el segundo número como 1 significa adquirido, y -1 significa regalado.
Entonces, 1 × 1 = 1, significa 1 pluma adquirida, es decir, balance 1.
1x-1 = -1 implica regalar un bolígrafo, es decir, equilibrar menos por 1.
-1 × 1 = 1 significa que no adquirió 1 pluma, es decir, regaló una pluma.
Entonces podemos decir, en aras de la comprensión, que -1x-1 significa que no regaló una pluma, es decir, adquirió una pluma

Answer 10

asumir -1 x -1 = -1

adicionalmente, -1 x 1 = -1

dividir por -1 te da 1 = -1