La regla de suma para límites dice: Si [matemática] \ lim_ {x \ a a} f (x) = L [/ matemática] y [matemática] \ lim_ {x \ a a} g (x) = M [/ matemática ], luego [matemáticas] \ lim_ {x \ a a} (f (x) + g (x)) = L + M [/ matemáticas].
Prueba: Deje [math] \ epsilon> 0 [/ math]. Deseamos encontrar un [math] \ delta> 0 [/ math] tal que si [math] 0 <| xa | <\ delta [/ math] luego [math] | (f (x) + g (x)) – (L + M) | <\ epsilon [/ math].
Como [math] \ lim_ {x \ to a} f (x) = L [/ math], existe [math] \ delta_1> 0 [/ math] tal que si [math] 0 <| xa | <\ delta_1 [/ math], luego [math] | f (x) -L | 0 [/ matemática] tal que si [matemática] 0 <| xa | <\ delta_2 [/ math], luego [math] | g (x) -M | <\ frac {\ epsilon} {2} [/ math].
Deje que [math] \ delta [/ math] sea el mínimo de [math] \ delta_1 [/ math] y [math] \ delta_2 [/ math]. Suponga que [matemáticas] 0 <| xa | <\ delta [/ math]. Entonces ambos [matemáticas] 0 <| xa | <\ delta_1 [/ math] y [math] 0 <| xa | <\ delta_2 [/ math] son verdaderas. Entonces, tanto [math] | f (x) -L | <\ frac {\ epsilon} {2} [/ math] como [math] | g (x) -M | <\ frac {\ epsilon} {2} [ / matemáticas] también son ciertas.
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- Si [math] p [/ math] es un número primo mayor que [math] 3 [/ math], ¿cómo demuestra que [math] p ^ 2 -1 [/ math] es divisible por [math] 24 [/ matemáticas]?
Finalmente, [matemáticas] | (f (x) + g (x)) – (L + M) | [/ matemáticas] es lo mismo que [matemáticas] | (f (x) -L) + (g (x) -M) | [/ math], que es [math] \ leq | f (x) -L | + | g (x) -M | [/ math] por la desigualdad del triángulo. Cada uno de estos términos a la derecha es menor que [math] \ frac {\ epsilon} {2} [/ math], por lo que su suma es menor que [math] \ epsilon [/ math]. QED