¿Qué es una prueba epsilon-delta de la regla de límites de diferencia?

Answer 1

Regla de diferencia: Si [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to a} f (x) = n [/ math] y [math] \ lim_ {x \ to a} g (a) = m [/ math], entonces
[matemáticas] \ lim_ {x \ a a} f (x) – g (x) = n – m. [/ matemáticas]

Prueba: Corregir [matemáticas] \ epsilon> 0 [/ matemáticas]. Por definición de un límite, existe [matemática] \ delta_1> 0 [/ matemática] y [matemática] \ delta_2> 0 [/ matemática] tal que:

• si [matemáticas] | x – a | <\ delta_1 [/ math], luego [math] | f (x) – n | <\ dfrac {\ epsilon} {2} [/ math], y
• si [matemáticas] | x – a | <\ delta_2 [/ math], luego [math] | g (x) – m | <\ dfrac {\ epsilon} {2} [/ math].

Dejamos [math] \ delta = \ textrm {min} (\ delta_1, \ delta_2) [/ math]. Por lo tanto, tenemos:

si [matemáticas] | xa | <\ delta [/ math], luego por la desigualdad del triángulo:
[matemática] \ grande | [f (x) – g (x)] – (nm) \ grande | \ leq [/ matemática] [matemática] | f (x) – n | + | g (x) – m | <\ epsilon [/ math].

Por definición, el límite de [math] (fg) (x) [/ math] a medida que [math] x [/ math] se acerca a [math] a [/ math] es [math] nm [/ math].